### 6.56.1 Transformée en z d’une suite, la fonction ztrans : `ztrans`

`ztrans` a un ou trois arguments :

- une suite donnée par son terme général ax : la variable utilisée pour définir le terme général est x et x sera aussi le nom de la variable utilisée dans la fonction renvoyée par `ztrans`
- une suite donnée par son terme général an, le nom de la variable utilisée pour définir ce terme général (ici n) et le nom de la variable utilisée dans la fonction renvoyée par `ztrans` (par exemple z).

`ztrans` calcule la transformée en z de la suite donnée en argument.
On a par définition :
si f(x)=ztrans(ax) on a

f(x)= |
inf
∑
n=0
an
xn

si f(z)=ztrans(an,n,z) on a

f(z)= |
inf
∑
n=0
an
zn

On tape :

`ztrans(1)`

On obtient :

`x/(x-1)`

On a en effet :
=∑n=0inf1/xn=1/1−1/x=x/x−1
On tape :

`ztrans(1,n,z)`

On obtient :

`z/(z-1)`

On a en effet :
1+1/z+1/z2+1/z3+1/z4+..=∑n=0inf1/zn=1/1−1/z=z/(z−1)
On tape :

`ztrans(x)`

On obtient :

`x/(x```^```2-2*x+1)`

On tape :

`ztrans(n,n,z)`

On obtient :

`z/(z```^```2-2*z+1)`

On a en effet : 1/z−1=∑n=1inf1/zn
1/(z−1)2=−(1/(z−1))′=∑n=1infn/zn−1
Donc z/(z−1)2=∑n=1infn/zn