# Chapitre 12 Pour s’amuser avec des dessins récursifs

## 12.1 Les sapins

    sapin(x,y):={
     DispG();
     if (abs(x-y)<0.5) {segment(x,y); return 0;}
     sapin(x,x+(y-x)*0.5*exp(i));
     sapin(x,x+(y-x)*0.5*exp(-i));
     segment(x,(3*x+y)/4);
     sapin((3*x+y)/4,y);
    }

je voulais utiliser similitude mais je n’arrive pas a me debarasser des petites croix qui marque le point..meme en faisant nodisp(similitude(....))

    sapinp(x,y):={
     DispG();
     if (abs(x-y)<0.2) {segment(x,y); return 0;}
     sapin(x,affixe(similitude(x,0.5,1.0,y)));
     sapin(x,affixe(similitude(x,0.5,-1.0,y)));
     segment(x,(3*x+y)/4);
     sapin((3*x+y)/4,y);
    }:;

## 12.2 Les fleurs

    fleur(x,y):={
     DispG();
     if (abs(x-y)<0.5) {segment(x,y);cercle(y,(y-x)*0.3); return 0;}
     segment(x,y);cercle(y,(y-x)*0.3);cercle(y,(y-x)*0.2);
     fleur(x,x+(y-x)*0.5*exp(i*0.5));
     fleur(x,x+(y-x)*0.5*exp(-i*0.5));
    }

On tape :
`fleur(0,5*i)`
On obtient le dessin dans `DispG`.

## 12.3 L’anémone

    anemone(a,n,c):={
    local L;
    L:=NULL;
    L:=L,cercle(a+i*n,n);
    L:=L,cercle(a-i*n,n);
    L:=L,cercle(a+n,n);
    L:=L,cercle(a-n,n);
    retourne affichage(L,c+rempli),cercle(a,n/2,affichage=rempli+0);
    }:;

On tape :
`anemone(0,5*i)`
On obtient

## 12.4 La tulipe

    tulipe(a,n,c):={
    local L;
    L:=L,cercle(a+i*n,n,3.15,6.4);
    L:=L,cercle(a+i*n-n,n,-0.1,1.58);
    L:=L,cercle(a+i*n+n,n,1.58,3.15);
    L:=L,segment(a+i*n-n,a+2*i*n-n);
    retourne affichage(L,c+rempli);
    }:;

On tape :
`tulipe(0,5*i)`
On obtient

## 12.5 Les bouquets de fleurs

Ici on veut avoir le dessin comme réponse, on met donc toute la suite des instructions graphiques dans une liste `L` qui sera retournée comme réponse.
On tape pour avoir un bouquet d’anémones:

    fleurs1(x,y):={
     local L,c;
     L:=NULL;
    c:=alea(10)+85;
     if (abs(x-y)<0.5) {return L,arc(x,y,-5*pi/12,affichage=epaisseur_ligne_3),anemone(y,(y-x)*0.3,c); }
     L:=arc(x,y,-5*pi/12,affichage=epaisseur_ligne_3),anemone(y,(y-x)*0.2,c);
     L:=L,fleurs1(x,x+(y-x)*0.5*exp(i*0.5));
     L:=L,fleurs1(x,x+(y-x)*0.5*exp(-i*0.5));
    retourne L;
    }:;

On tape :
`fleurs1(0,5*i)`
On tape pour une carte de "bonne annee":
`fleurs1(0,5*i),fleurs1(0,4+4*i),legende(10+5i,"BONNE "), legende(10+3i,"ANNEE"),legende(10.2+i,"2011")`

On tape pour avoir un bouquet de tulipes:

    fleurs3(x,y):={
     local L,c;
     L:=NULL;
    c:=alea(10)+85;
     if (abs(x-y)<0.5) {return L,arc(x,y,-5*pi/12,affichage=epaisseur_ligne_3),tulipe(y,(-i)*(y-x)*(0.5)*exp(-i*5*pi/24),c);}
     L:=arc(x,y,-5*pi/12,affichage=epaisseur_ligne_3),tulipe(y,-i*(y-x)*(0.4)*exp(-i*5*pi/24),c);
     L:=L,fleurs3(x,x+(y-x)*0.6*exp(i*0.5));
     L:=L,fleurs3(x,x+(y-x)*0.6*exp(-i*0.5));
    retourne L;
    }:;

On tape :
`fleurs3(0,5*i)`
On tape pour une carte de "bonne annee":
`fleurs3(0,5*i),fleurs3(0,3+4*i),fleurs3(0,-3+4*i),legende(10+7i,"BONNE "), legende(10+5i,"ANNEE"),legende(10.2+3i,"2011")`
On tape :
`fleurs3(0,5*i),fleurs3(0,3+4*i),fleurs1(14,14+6*i),fleurs1(14,19+6*i), legende(8.2+7i,"BONNE "),legende(8.2+5i,"ANNEE"),legende(8.4+3i,"2011")`

## 12.6 La fougère

Ce n’est pas un dessin récursif, mais c’est une une suite d’itérées. Pour obtenir cette fougère, on va itérer un système de fonctions avec poids aléatoires. On considère : `A:=[[0,0,0.5],[0,0.16,0],[0,0,1]]` de poids 0.01,
`B:=[[0.2,-0.26,0.4],[0.23,0.22,0.005],[0,0,1]]` de poids 0.07,
`C:=[[-0.15,0.28,0.57],[0.26,0.24,-0.12],[0,0,1]]` de poids 0.07,
`D:=[[0.85,0.04,0.08],[-0.04,0.85,0.18],[0,0,1]]` de poids 0.85,
On définit `F:=A,B,C,D` et on itère en partant du vecteur `w0:=[0,5,1]`. Pour définir `w1`, on applique à `w0`, soit `A`, soit `B`, soit `C` ou `D` de façon aléatoire selon leur poids et on définit `w2` etc...On dessine les points définit par les 2 premières coordonnées des `w`, mais, pour la beauté du dessin, on ne dessine pas les `n1` premiers points. Donc dans fougere on a `n1` points invisibles et `n2` itérations .
On tape :

    choisirk():={
    local r,p,k;
    p:=[0.01,0.07,0.07,0.85];
    r:=rand(0,1);
    k:=0;
    tantque r>p[k] faire
      r:=r-p[k];
      k:=k+1;
    ftantque;
    return k;
    }:;
    fougere1(n1,n2):={
    local A,B,C,D,F,j,k,w,P;
    A:=[[0,0,0.5],[0,0.16,0],[0,0,1]];
    B:=[[0.2,-0.26,0.4],[0.23,0.22,0.005],[0,0,1]];
    C:=[[-0.15,0.28,0.57],[0.26,0.24,-0.12],[0,0,1]];
    D:=[[0.85,0.04,0.08],[-0.04,0.85,0.18],[0,0,1]];
    F:=A,B,C,D;
    w:=[0,5,1];
    P:=NULL;
    pour j de 1 jusque n1 faire
      w:=F[choisirk()]*w;
    fpour;
    pour j de n1+1 jusque n2 faire
      w:=F[choisirk()]*w;
      P:=P,point(w[0],w[1]);
    fpour;
    return P;
    }:;

On tape : `affichage(2+point_point);fougere1(10,10000)`
On obtient :

## 12.7 Une autre fougère

Une application affine f de ℝ2 dans ℝ2 est définie par une matrice carrée A de dimension 2 et par un vecteur colonne U de de ℝ2, on a :
f(X)=A*X+U pour tout vecteur colonne X de ℝ2.
Pour faire cette nouvelle fougère, on fera comme précédemment les itérées d’un point (ici l’origine) en utilisant l’une des 4 applications affines de ℝ2 dans ℝ2 avec une probabilité donnée :

- f1 sera utilisée avec la probabilité p1=0.01 et est définie par :
  `A1:=[[0,0],[0,0.16]]` et
  `U1:=[0,0]`
- f2 sera utilisée avec la probabilité p2=0.07 et est définie par :
  `A2:=[[-0.15,0.28],[0.26,0.24]]` et
  `U2:=[0,0.44]`
- f3 sera utilisée avec la probabilité p3=0.07 et est définie par :
  `A3:=[[0.2,-0.26],[0.23,0.22]]` et
  `U3:=[0,1.6]`
- f4 sera utilisée avec la probabilité p4=0.85 et est définie par :
  `A4:=[[0.85,0.04],[-0.04,0.85]]` et
  `U4:=[0,1.6]`

On tape :

    choisirk():={
    local r,p,k;
    p:=[0.01,0.07,0.07,0.85];
    r:=rand(0,1);
    k:=0;
    tantque r>p[k] faire
      r:=r-p[k];
      k:=k+1;
    ftantque;
    return k;
    }:;
    fougere2(n):={
    local A,A1,A2,A3,A4,U,U1,U2,U3,U4,j,k,P,w;
    A1:=[[0,0],[0,0.16]];
    U1:=[0,0];
    A2:=[[-0.15,0.28],[0.26,0.24]];
    U2:=[0,0.44];
    A3:=[[0.2,-0.26],[0.23,0.22]];
    U3:=[0,1.6];
    A4:=[[0.85,0.04],[-0.04,0.85]];
    U4:=[0,1.6];
    A:=A1,A2,A3,A4;
    U:=U1,U2,U3,U4;
    w:=[0,0];
    P:=NULL;
    pour j de 1 jusque n faire
      k:=choisirk();
      w:=A[k]*w+U[k];
      P:=P,point(w[0],w[1]);
    fpour;
    return P;
    }:;

On tape : `affichage(2+point_point);fougere2(3000)`
On obtient :
Remarque Ces 2 fougères sont sensiblement les mêmes : la première est décrite en coordonnèes homogènes. Voici le programme `fougere3` de la fougère2 en coordonnèes homogènes. Ce programme est un peu plus lent

    choisirk():={
    local r,p,k;
    p:=[0.01,0.07,0.07,0.85];
    r:=rand(0,1);
    k:=0;
    tantque r>p[k] faire
      r:=r-p[k];
      k:=k+1;
    ftantque;
    return k;
    }:;
    fougere3(n):={
    local A,A1,A2,A3,A4,j,k,P,w;
    A1:=[[0,0,0],[0,0.16,0],[0,0,1]];
    A2:=[[-0.15,0.28,0],[0.26,0.24,0.44],[0,0,1]];
    A3:=[[0.2,-0.26,0],[0.23,0.22,1.6],[0,0,1]];
    A4:=[[0.85,0.04,0],[-0.04,0.85,1.6],[0,0,1]];
    A:=A1,A2,A3,A4;
    w:=[0,0,1];
    P:=NULL;
    pour j de 1 jusque n faire
      k:=choisirk();
      w:=A[k]*w;
      P:=P,point(w[0],w[1]);
    fpour;
    return P;
    }
    :;

## 12.8 Le choux-fleur

### 12.8.1 L’énoncé

Soit la suite de fonctions fn de [0;1] dans ℝ définie par :
pour n=1 :

f1(x)= | ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ |
x |
si x≤ |
1
2
1−x |
si x> |
1
2

et pour n≥ 2 :

fn(x)= | ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ |
1
2
| fn−1(2x)
si x≤ |
1
2
fn(x− |
1
2
| )
si x> |
1
2

La fonction fn est périodique de période 1/2n−1 et tracer son graphe sur [0; 1/2n−1].

1. Définir dans `Xcas` une fonction calculant fn(x).
2. Définir dans `Xcas` une fonction calculant la somme :
   Sn(x)=f1(x)+f2(x)+...fn(x)
3. Tracer le graphe de S10
4. On définit le dessin suivant :
   Soient deux points A(xa,ya) et B(xb,yb) à partir du vecteur AB, on construit les vecteurs AC et CB où C a comme coordonnées xc=(xa+xb)/2 et yc=(ya+yb)/2+(xb−xa)/2. On recommence la même construction à partir de chacun des 2 vecteurs obtenus etc....
   Écrire un programme qui dessine les segments obtenus au bout de n fois (mais pas les dessins intermédiaires). On remarquera que l’on obtient ainsi le graphe de Sn.

### 12.8.2 La correction

1. On définit la fonction `f(n,x)` :

       f(n,x):={
       si x<=1/2 alors
       si n==1 alors return x;sinon return f(n-1,2x)/2; fsi;
       fsi
       si n==1 alors return 1-x;sinon return f(n,x-1/2); fsi;
       }:;

2. On tape : `plotfunc(f(4,x),x=0..1,affichage=1)`
   On obtient :

3. On définit la fonction `S(n,x)` :

       S(n,x):={
       local j,s;
       pour j de 1 jusque n faire
       s:=s+f(j,x);
       fpour;
       return s;
       }:;

4. On définit la fonction récursive `chouxfleur(A,B,n)` :

       chouxfleur(A,B,n):={
         local xa,ya,xb,yb,xc,yc,C;
         si n==0 alors return segment(A,B);fsi;
         xa,ya:=coordonnees(A);
         xb,yb:=coordonnees(B);
         xc:=(xa+xb)/2;
         yc:=(ya+yb)/2+(xb-xa)/2;
         C:=point(xc,yc);
         return chouxfleur(A,C,n-1),chouxfleur(C,B,n-1);
       }:;

   On tape : `chouxfleur(point(0),point(1),10)`
   On obtient :

## 12.9 Les arbres

### 12.9.1 Un arbre

    arbre(x,y):={
     DispG();
     if (abs(x-y)<0.2) {segment(x,y); return 0;}
     segment(x,(x+y)/2);
     arbre((x+y)/2,(x+y)/2+(y-x)*0.5*exp(i*0.5));
     arbre((x+y)/2,(x+y)/2+(y-x)*0.5*exp(-i*0.5));
    }

### 12.9.2 Un arbre moins déplumé

    arbre2(x,y):={
     DispG();
     if (abs(x-y)<0.2) {segment(x,y); return 0;}
     segment(x,(x+y)/2);
     arbre2((x+y)/2,(x+y)/2+(y-x)*0.5*exp(i*0.5));
     arbre2((x+y)/2,(x+y)/2+(y-x)*0.5*exp(-i*0.5));
     arbre2((x+y)/2,(x+y)/2+(y-x)*0.5*exp(i));
     arbre2((x+y)/2,(x+y)/2+(y-x)*0.5*exp(-i));
    }

### 12.9.3 Un arbre epineux

    arbre3(x,y):={
     DispG();
     if (abs(x-y)<0.2) {segment(x,y); return 0;}
     segment(x,(x+y)*0.5);
     arbre3((3*x+y)/4,(3*x+y)/4+(y-x)*0.25*exp(i*0.5));
     arbre3((3*x+y)/4,(3*x+y)/4+(y-x)*0.25*exp(-i*0.5));
     arbre3((x+y)/2,(x+y)/2+(y-x)*0.5*exp(i));
     arbre3((x+y)/2,(x+y)/2+(y-x)*0.5*exp(-i));
    }

### 12.9.4 Le bouquet final

    bouquet(x,y):={
     DispG();
     if (abs(x-y)<0.2) {segment(x,y); return 0;}
     segment(x,(x+y)*0.5);
     bouquet((3*x+y)/4,(3*x+y)/4+(y-x)*0.25*exp(i*0.5));
     bouquet((3*x+y)/4,(3*x+y)/4+(y-x)*0.25*exp(-i*0.5));
     bouquet((x+y)/2,(x+y)/2+(y-x)*0.5*exp(i));
     bouquet((x+y)/2,(x+y)/2+(y-x)*0.5*exp(-i));
     bouquet((x+y)/2,(x+y)/2+(y-x)*0.5);

## 12.10 Un exercice tiré des olympiades

### 12.10.1 L’énoncé

On modélise la croissance d’un arbre de la manière suivante : au départ il est composé d’un tronc vertical AB de longueur l, au bout d’un an ce tronc donne naissance a 2 branches BC et BD vérifiant : BC=0.5*AB, BD=0.75*AB, et
(BC,BA)=(BA,BD)=5π/6.
Chaque année, chaque branche donne naissance a 2 branches selon le même processus. Faire le dessin de l’arbre au bout de 3 ans
Si on ne tient pas compte de la durée de vie de l’arbre, quelle est la limite de sa taille ?

Avec `Xcas` on pourra exécuter `arbre.xws` pour avoir la correction.

### 12.10.2 Le dessin

Pour faire le dessin on écrit une procédure récursive `arbre` qui renvoie 0 quand elle se termine et qui a comme paramètres : `A` le point de plantation, `l` la longueur du tronc `AB`, `t` l’angle que fait `AB` avec le sol, `n` le nombre d’années. Ainsi le point `B` a comme affixe `A+l*exp(i*t)`.
On verra le dessin dans l’écran `DispG` (`session->montrer->DispG`).

      arbre(A,l,t,n):={
        local B;
        B:=A+l*exp(i*t);
        segment(A,B);
        if (n>0){
          arbre(B,l*0.5,t+pi/6,n-1);
          arbre(B,l*0.75,t-pi/6,n-1);
        }
        return 0;
      }:;

### 12.10.3 La taille

Pour connaitre la taille de l’arbre au bout de `n` années, on écrit une procédure récursive `harbre` qui a les mêmes paramètres que la procédure récursive `arbre` et qui renvoie l’ordonnée exacte du point le plus haut de l’arbre.

      harbre(A,l,t,n):={
        local B,res;
        B:=A+l*exp(i*t);
        res:=max(ordonnee(A),ordonnee(B));
        if (n>0){
          res:=normal(max(res,harbre(B,l/2,t+pi/6,n-1),
          harbre(B,l*3/4,t-pi/6,n-1)));
        }
        return res;
      }:;

ou plutôt pour éviter des calculs trop longs on écrit `harbra` qui renvoie la valeur approchée de l’ordonnée du point de l’arbre le plus haut. On peut aussi utiliser `harbre` en mettant comme valeur de `l` une valeur décimale : par exemple `1.0`.

    harbra(A,l,t,n):={
    local B,res;
    B:=evalf(A+l*exp(i*t));
    res:=max(ordonnee(A),ordonnee(B));
    if (n>0){
    res:=max(res,harbre(B,l*0.5,evalf(t+pi/6),n-1),
    harbre(B,l*0.75,evalf(t-pi/6),n-1));
    }
    return res;
    }:;

Pour avoir la hauteur de l’arbre, il faut soit planter l’arbre en un point `A` d’ordonée `0`, soit utiliser la procédure `hauteur_arbre` ci-dessous qui suppose que le tronc de l’arbre est vertical :
`hauteur_arbre(A,l,n):=harbre(A,l,pi/2,n)-ordonnee(A):;` On tape : `harbre(0,1,pi/2,10)` On obtient au bout de 30s :
`(19515*sqrt(3)+52283)/32768`
On tape : `harbre(0,1.0,pi/2,1)` On obtient au bout de 5s:
`2.62707432586`
On tape : `hauteur_arbre(i,1.0,pi/2,1)` On obtient au bout de 5s:
`2.62707432586`

### 12.10.4 La limite de la taille

Seulement, cela ne nous donne qu’une valeur approchée de la limite de cette hauteur.
Pour connaitre la taille maximum h de l’arbre, il faut remarquer que :
- si l’arbre poussait verticalement sa hauteur serait une série géométrique de raison 3/4 de somme 4
- la hauteur d’un arbre est proportionnelle à la longueur du tronc initial,
- qu’au bout de 2 ans la branche gauche de la branche droite est verticale et est de longueur l*3/4*/2=3l/8 c’est à dire que cette branche est de hauteur les 3h/8.
On calcule à la main la hauteur de l’arbre au bout d’1 an : l+( sqrt 3*l/2)*(3/4)=l(1+3√3/8) ou on tape :
`harbre(0,1,pi/2,1);harbre(0,1.0,pi/2,1);`
On obtient :
`(3*sqrt(3)+8)/8,1.64951905284`
On a donc l’équation :
h=1+(√3/2)*(3/4)+3*h/8
On tape :
`solve(h=3/8*h+(1+3*sqrt(3)/8) ,h)`
On obtient :
`[1/5*(3*sqrt(3)+8)]`
On tape :
`evalf(1/5*(3*sqrt(3)+8))`
On obtient :
`2.63923048454`
La taille maximum de l’arbre de tronc l est :
l*(3*sqrt(3)+8)/5 ≃ 2.63923048454*l