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# Chapitre 19 Les suites

## 19.1 Les suites récurrentes

### 19.1.1 L’énoncé d’une suite d’itérations

Soit la suite définie par :
u0=1
un+1=1/10un(20−un)
Calculer u1 édutier les variations de la fonction f(x)=1/10x(20−x).
En déduire que pour tout n un ∈ [0;10] et que u est croissante.
l’expression de un en fonction de n.

### 19.1.2 La réponse

On montre facilement que f est une bijection de [0;10] sur [0;10] et donc puisque u0 ∈ [0;10] et que un+1=f(un), pour tout n≥ 0 un ∈ [0;10]. On a un+1−un=un(10−un)/10 donc puisque pour tout n un ∈ [0;10], la suite u est croissante et majorée par 10, donc u est convergente et sa limite l vérifie l≥ u0 et l=1/10l(20−l) puisque f est continue.
Donc u converge vers l=10.

### 19.1.3 La réponse avec `Xcas`

On tape pour définir la fonction f :
`f(x):=x*(20-x)/10`
On tape pour voir les 6 premiers termes de la suite u :
`plotseq(f(x),x=1,6)`
On obtient :
On tape pour avoir le signe de un+1−un :
`factor(f(un)-un)`
On obtient :
`(-(un-10)*un)/10`
On tape pour résoudre l=1/10l(20−l) :
`solve(f(x)=x)`
On obtient :
`[0,10]`

### 19.1.4 L’énoncé

Soit la suite définie par :
u0=1
un+1=un/3+n−1
Déterminer a et b pour que la suite :
vn=k*un+a*n+b soit une suite géométrique dont on déterminera la raison.
En déduire l’expression de un en fonction de n.

### 19.1.5 La réponse

On a :
vn+1=k*un+1+a*(n+1)+b=k*un/3+k*n−k+a*(n+1)+b
donc :
vn+1=k*un/3+(a*n+b)/3+2*(a*n+b)/3+k*n+a−k
vn+1=vn/3+2*(a*n+b)/3+k*n+a−k
Si on veut que v soit une suite géométrique , il faut que :
2*(a*n+b)+3*k*n+3*a−3*k=0
ou encore :
2*a+3*k=0 et 2*b+3*a−3*k=0 cela donne :
3*k=−2*a et 2*b=−5*a
On choisit a=−6 et alors k=4 et b=15 et alors :
vn+1=vn/3 avec vn=4*un−6*n+15 donc v0=19
On en déduit que :
vn= 19*1/3n
donc
un= 19/4*1/3n+3/2*n−15/4

### 19.1.6 L’énoncé

Soit la suite définie par :
u0=1
n*un=(n+1)*un−1+1 si n>0
Calculer u1,u2,u3,u4,u5.
À votre avis quelle est l’expression de un en fonction de n ?
Démontrez que cette expression est la bonne.
Généraliser lorsque u0=a et n*un=(n+1)*un−1+1 si n>0

### 19.1.7 La réponse avec `Xcas`

On tape :
`u(n):=ifte(n==0,1,u(n-1)*(n+1)/n+1/n)`
`u(n)$(n=0..5)`
On obtient :
`1,3,5,7,9,11`
On pense que un=2*n+1 et on va le montrer par récurrence. La relation est vrai pour n=0 : u0=2*0+1=1 Supposons que pour tout 0≤ k<n, uk=2*k+1 donc un−1=2*n−1 On a n*un=(n+1)*(2*n−1)+1
On tape :
`factor((n+1)*(2*n-1)+1)`
On obtient :
`(2*n+1)*n`
donc n*un=(2*n+1)*n et comme n>0 on peut diviser par n donc un=2*n+1.
Généralisation
On tape :
`u(n):=ifte(n==a,1,u(n-1)*(n+1)/n+1/n)`
`normal(u(n)$(n=0..5))`
On obtient :
`a,2*a+1,3*a+2,4*a+3,5*a+4,6*a+5`
On pense que un=(n+1)*a+n et on va le montrer par récurrence. La relation est vrai pour n=0 : u0=(0+1)*a+0=a Supposons que pour tout 0≤ k<n, uk=(k+1)+k donc un−1=n*a+n−1 On a n*un=(n+1)*(n*a+n−1)+1
On tape :
`factor((n+1)*(n*a+n-1)+1)`
On obtient :
`n*(a*n+a+n)`
donc n*un=n*(a*n+a+n) et comme n>0 on peut diviser par n donc un=a*n+a+n=(n+1)*a+n.

On peut aussi chercher à calculer :
un−un−1 en fonction de un−1−un−2.
On a :
un−un−1=(n2*un−1−n2*un−2−un−1−1)/(n2−n)
On sait que :
un−1=n*un−2+n*un−1−1 donc
un−un−1=un−1−un−2=...=u1−u0=a+1
Ainsi, un est une suite arithmétique de raison a+1 et donc

un=n(a+1)+u0=n(a+1)+a=a(n+1)+n

Avec `Xcas`, on pose `un`=un, `un1`=un−1 et `un2`=un−2.
On tape :
`un:=(n*un1+un1+1)/n`
`un1:=(n*un2+1)/(n-1)`
`simplify(un-un1)`
On obtient :
`(un2+1)/(n-1)`
`simplify(un1-un2)`
On obtient :
`(un2+1)/(n-1)`
Donc un−un−1=un−1−un−2=...u1−u0=a+1.
Avec `Xcas`, si on veut obtenir directement `un-un1=un1-un2`, on doit faire la différence entre : `un11`=un−1 que l’on exprime en fonction de `un2`=un−2 et `un1`=un−1 qui ne doit pas changer. La difficulté ici est que dans `un`=un, il y a (n*un−1+un−1+1) et on doit laisser n*un−1 inchangé alors qu’il faut exprimer un−1+1 en fonction de `un2`=un−2.
On tape :
`un:=(n*un1+un11+1)/n`
`un11:=(n*un2+1)/(n-1)`
`simplify(un-un11)`
On obtient :
`un1-un2`
Donc on a :
un−un−1=un−1−un−2=...=u1−u0=a+1
Remarque
On peut aussi remarquer que l=−1 est solutipon de n*l=(n+1)*l+1.
Donc si vn=un+1, alors v vérifie :
v0=a+1 et nvn=(n+1)vn−1 ou encore
vn=n+1/n vn−1=n+1/n−1vn−2=...=(n+1)v0=(n+1)(a+1)
donc

un=(n+1)(a+1)−1=(n+1)a+n

### 19.1.8 Un énoncé du même type

Soit la suite définie par :
u0=5=a
n*un=(n+2)*un−1+6 si n>0
et soit dn=un+1−un.
Calculer u1,u2,u3,u4,u5 et d0,d1,d2,d3,d4. À votre avis quelle est l’expression de dn en fonction de n ? Démontrez que cette expression est la bonne. En déduire l’expression de un en fonction de n Généraliser lorsque u0=a et n*un=(n+1)*un−1+1 si n>0

### 19.1.9 La solution

On peut suivre les questions et montrer que :
dn=8(n+2) et que un=4n(n+3).
On peut aussi remarquer que l’équation en x :
n*x=(n+2)*x+6 a une solution indépendante de n qui est l=−3.
On pose alors vn=un+3 et v vérifie :
v0=u0+3 et n*vn=n*(un+3)=(n+2)*(un−1+3)=(n+2)*vn−1, donc
vn=n+2/n vn−1=n+2/n n+1/n−1=....(n+2)(n+1)/2v0
Donc

un=vn−3= |
(n+2)(n+1)
2
| (u0+3)−3= |
(a−3)n2+(3a−9)n+2a−12
2
| =

Pour a=5 on trouve :

un=4n2+12n+5

## 19.2 Les suites homographiques

### 19.2.1 L’énoncé

#### Partie A

Soit f la fonction définie sur ]−∞;−1[∪]−1;+∞[ par f(x)=x+2/x+1.
1/ Résoudre f(x)=x.
On notera r1 la racine positive et r2 la racine négative.
2/ Soit (u) la suite définie par :
u1=1
un=f(un−1) pour n>1
Calculer un pour n=1,2,3,4,5
3/ Soit (v) la suite définie par :
vn=un−r1/un−r2=g(un)
a) Démontrer que (v) est une suite géométrique.
b) Expliciter vn en fonction de n
c) Expliciter un en fonction de n
d) Calculer l=limn → +∞ un
4/ Donner la plus petite valeur de n pour laquelle |un−l|<10−1000

#### Partie B

1/ Exprimer u2n en fonction de un.
2/ Determiner et étudier la fonction f2 telle que u2n=f2(un).
3/ Soit (w) la suite définie par :
w0=1 et wn=f2(wn−1) pour tout n>0.
Montrer que (w) a la même limite l que (u).
4/ Donner la plus petite valeur de n pour laquelle |wn−l|<10−1000

#### Partie C

1/ Exprimer u3n en fonction de un.
2/ Determiner et étudier la fonction f3 telle que u3n=f3(un).
3/ Soit (t) la suite définie par :
t0=1 et tn=f3(tn−1) pour tout n>0.
Montrer que (t) a la même limite l que (u).
4/ Donner la plus petite valeur de n pour laquelle |tn−l|<10−1000

#### Partie D

Étant donné p entier positif, refaire la même chose à partir de la fonction :
f(x)=x+p/x+1
pour trouver une valeur approchée de √p.

### 19.2.2 La correction

#### Partie A

1/ On tape :
`f(x):=(x+2)/(x+1)`
puis :
`solve(f(x)=x)`
On obtient :
`[-sqrt(2),sqrt(2)]`

2/ On tape :
`1` puis :
`f(ans())`
puis :
`enter enter enter enter`
On obtient :
`3/2`, `7/5`, `17/12`, `41/29`

3/ On a :
vn=un−√2/un+√2
On tape :
`g(x):=(x-sqrt(2))/(x+sqrt(2))`
Puis, on tape :
`v(n):=g(u(n))`
puis :
`h(x):=solve(g(y)=x,y)[0]` puis :
`h(x)`
On obtient :
`(x*sqrt(2)+sqrt(2))/(-x+1)` donc
un=√2 vn+1/−vn+1 et
vn+1=g(vn+1)=g(f(un))=g(f(h(vn)))
On tape :
`k:=g@f@h` puis :
`normal(k(x))`
On obtient :
`((sqrt(2)-2)*x)/(sqrt(2)+2)`
donc vn+1=(√2−2)*vn/√2+2
la suite (v) est donc une suite géométrique de raison :
`(sqrt(2)-2)/(sqrt(2)+2)=2*sqrt(2)-3`
puis on tape :
`normal(expand(mult_conjugate(g(1))))`
On obtient :
`2*sqrt(2)-3`
Donc :
vn=(2*√2−3)n
Donc on tape h(vn) :
`h((2*sqrt(2)-3)```^```n)`
On obtient un :
`((2*sqrt(2)-3)```^```n*sqrt(2)+sqrt(2))/(-(2*sqrt(2)-3)```^```n+1)`
On sait que (v) converge vers 0 car on a :
vn=(2*√2−3)n et −1<2*√2−3<0.
Quand x tend vers 0, h(x) tend vers h(0)=√2, donc (u) converge vers √2.
On a `normal(h(x)-h(0))=(-(2*sqrt(2))*x)/(x-1)`

4/ On tape :
`normal(diff(h(x)))`
On obtient :
`(2*sqrt(2))/(x```^```2-2*x+1)`
On a :
pour tout n, −|v0|=−3+2√2 ≤ vn ≤ 3−2√2=|v0|, donc :
−1.2<−4+2 √2 ≤ vn−1 ≤ 2−2 √2<−0.8, donc :
si −3+2 √2 ≤ x ≤ 3−2√2,
On a
|h′(x)|<(2*√2)/(2−2*√2)2=(3*√2+4)/2
et
|un−√2|=|h(vn)−h(0)|<|vn|*(3*√2+4)/2 <5* (0.2)n
On tape :
`solve(5*0.2```^```n<10```^```-1000,n)`
log10(5)+n*log10(0.2)<−1000
donc
n>=1432>(1000+log10(5))/(1−log10(2))>1431

#### Partie B

1/ On a :
v2n=(2√2−3)(2n)=vn2,
donc
u2n=h(v2n)=h(vn2)=h((g(un))2

2/ On tape puisque `sq(x)=x```^```2` :
`f2(x):=normal((h@sq@g)(x))`
puis
`f2(x)`
On obtient :
`((x```^```2+2)*1/2)/x`
On reconnait la fonction obtenue par la méthode de Newton et qu’il faut itérer pour obtenir une approximation de √2.

3/ On a :
w0=u1
w1=f2(w0)=f2(w1)=u2
w2=f2(w1)=f2(u2)=u4
w3=f2(w2)=f2(u4)=u8
....donc
wn=u2n

4/ Si on prend 2n ≥ 1432, on aura |wn−l|<10−1000
On tape :
`solve(2```^```n>1432.,n)`
On obtient :
`n>10.48...`
Donc si n≥ 11), on aura |wn−l|<10−1000

#### Partie C

1/ On a :
v3n=(2√2−3)(3n)=vn3,
donc :
u3n=h(v3n)=h(vn3)=h((g(un))3

2/ On tape :
`p3(x):=x```^```3`
`f3(x):=normal((h@p3@g)(x))`
puis
`f3(x)`
On obtient :
`(x```^```3+6*x)/(3*x```^```2+2)`

3/ On a :
t0=u1
t1=f3(t0)=f3(u1)=u3
t2=f3(t1)=f3(u3)=u9
t3=f3(t2)=f3(u9)=u27
....donc
tn=u3n

4/Si on prend 3n ≥ 1432, on aura |tn−l|<10−1000 On tape :
`solve(3```^```n>1432.,n)`
On obtient :
`n>6.61...`
Donc si n≥ 7), on aura |wn−l|<10−1000

#### Partie D

1/ Étant donné p entier positif, on peut refaire la même chose pour trouver une valeur approchée de √p en prenant comme fonction f :
f(x)=x+p/x+1
On tape :
`f(x):=(x+p)/(x+1)`
On tape :
`solve(f(x)=x,x)`
On obtient :
`[-(sqrt(p)),sqrt(p)]`
On tape :
`g(x):=(x-sqrt(p))/(x+sqrt(p))`
On tape :
`h(x):=solve(g(y)=x,y)[0]`
On obtient :
`(x*sqrt(p)+sqrt(p))/(-x+1)`
donc
un=√p vn+1/−vn+1 et
vn+1=g(vn+1)=g(f(un))=g(f(h(vn)))
On tape :
`k:=g@f@h` puis :
`normal(k(x))`
On obtient :
`((sqrt(p)-p)*x)/(sqrt(p)+p)`
donc
vn+1=((√p−p)*vn)/(√p+p)
La suite (v) est donc une suite géométrique de raison :
`(sqrt(p)-p)/(sqrt(p)+p)=-g(1)`
puis on tape :
`normal(expand(mult_conjugate(k(1))))`
On obtient :
`(-p-1+2*sqrt(p))/(p-1)`
la suite (v) est donc une suite géomtrique de raison :
`(-p-1+2*sqrt(p))/(p-1)`
Donc :
vn=((−p−1+2*√p)/(p−1))n
Donc on tape h(vn) :
`h((((sqrt(p)-p)*x)/(sqrt(p)+p))```^```n)`
On obtient un :
`((((sqrt(p)-p)*x)/(sqrt(p)+p))```^```n*sqrt(p)+sqrt(p))/
(-(((sqrt(p)-p)*x)/(sqrt(p)+p))```^```n+1)`

2/ On a :
v2n=vn2, donc u2n=h(v2n)=h(vn2)=h((g(un))2) car v2n=v(n)2 et v(n)=g(u(n))
On tape puisque `sq(x)=x```^```2` :
`f2(x):=normal((h@sq@g)(x))`
puis
`f2(x)`
On obtient :
`((x```^```2+p)*1/2)/x`
On reconnait la fonction obtenue par la méthode de Newton et qu’il faut itérer pour obtenir une approximation de √p.

3/ On a :
v3n=vn3, donc u3n=h(v3n)=h(vn3)=h((g(un))3)
On tape :
`p3(x):=x```^```3` `f3(x):=normal((h@p3@g)(x))`
puis
`f3(x)`
On obtient :
`(x```^```3+3*p*x)/(3*x```^```2+p)`

#### Avec le tableur

Avec le tableur, on voit les différentes vitesses de convergences des suites `(u)`, `(v)` et `(t)`. Il faut prévoir 6 colonnes : une colonne des valeurs exactes des termes de la suite et une colonne donnant les valeurs approchées des termes de la suite et cela pour chacune des suites.

## 19.3 Exemple d’une suite instable

### 19.3.1 L’énoncé

Soient les suites u et v définies par : u0=11/2
u1=61/11
un=111−1130/un−1+3000/un−1*un−2
et
v0=5.5
v1=evalf(61/11)
vn=111−1130/vn−1+3000/vn−1*vn−2
Quelles sont les limites possibles de ces suites ? À l’aide de `Xcas`, calculer la valeur approchée des 30 premiers termes de ces deux suites en utilisant 20 digits.

### 19.3.2 Le programme

On tape :

      instable(n,u0,u1):={
        local j,un;
        if (n==0) return u0;
        if (n==1) return u1;
        for(j:=2;j<=n;j++){
          un:=111-1130/u1+3000/(u0*u1);
          u0:=u1;
          u1:=un;
        }
        return un;
      }
    :;

On a alors :
un=instable(n,11/2,61/11)
vn=instable(n,5.5,evalf(61/11))

### 19.3.3 Les résultats

Soit f(x,y)=111−1130/x+3000/x*y.
Si une suite w vérifie la relation de récurrence : wn=f(wn−1*wn−2), les limites possibles d’une telle suite sont les solutions de f(x,x)=x.
On tape :
`solve(111-1130/x+3000/x```^```2=x,x)`
On obtient :
`[100,6,5]`
Les limites possibles sont donc 5,6 et 100.
Remarque La suite v dépend de la valeur de `evalf(61/11)`, donc dépend du nombre de digits utilisés et du mode de calcul utilisé.
On tape :

    Digits:=20;
    for(n:=0;n<=30;n++){
    print(n);
    print(instable(n,5.5,evalf(61/11)));
    print(evalf(instable(n,11/2,61/11)));}

On obtient :

    n:0
    5.50000000000000000000
    5.50000000000000000000
    n:1
    5.54545454545454545456
    5.54545454545454545456
    n:2
    5.59016393442622950768
    5.59016393442622950817
    n:3
    5.63343108504398826144
    5.63343108504398826979
    n:4
    5.67464862051015081490
    5.67464862051015096306
    n:5
    5.71332905238051293965
    5.71332905238051554900
    n:6
    5.74912091970259238934
    5.74912091970263804374
    n:7
    5.78181092048482174472
    5.78181092048561557945
    n:8
    5.81131423828027015958
    5.81131423829399572318
    n:9
    5.83765654872259110580
    5.83765654895871196153
    n:10
    5.86095151847234420526
    5.86095152251613197273
    n:11
    5.88137714686097474136
    5.88137721584141860362
    n:12
    5.89915273314948416898
    5.89915390579006532873
    n:13
    5.91450507580732900460
    5.91452495067898343240
    n:14
    5.92740541888982367183
    5.92774140777679525195
    n:15
    5.93338276962798092957
    5.93905048546111815120
    n:16
    5.85317477456212541080
    5.94868749248041657029
    n:17
    4.32520225792017284829
    5.95687073191822040100
    n:18
    -0.317580966868753489379e2
    5.96379872081940311587
    n:19
    0.124741088526995943127e3
    5.96964914404788717708
    n:20
    0.101183955312637480034e3
    5.97457902866672280000
    n:21
    0.100069905575441095835e3
    5.97872572175269217080
    n:22
    0.100004176388280681510e3
    5.98220835071100136336
    n:23
    0.100000249822052284540e3
    5.98512953056300350037
    n:24
    0.100000014951746801213e3
    5.98757715320858086895
    n:25
    0.100000000895227729755e3
    5.98962614887996719755
    n:26
    0.100000000053619816097e3
    5.99134015140329529141
    n:27
    0.100000000003212496604e3
    5.99277302875661600204
    n:28
    0.100000000000192515177e3
    5.99397026117232788471
    n:29
    0.100000000000011539180e3
    5.99497016287623956976
    n:30
    0.100000000000000691764e3
    5.99580495232911448068

Il semble que la suite u converge vers 6 alors que la suite v semble converger vers 100 alors qu’au début ces 2 suites sont très proches.
Cela ne provient pas d’erreurs d’arrondis car si on ne fait que du calcul formel et que l’on tape :

    Digits:=20;
    for(n:=0;n<=30;n++){
    print(n);
    print(evalf(instable(n,5.5,554545454545454545454/100000000000000000000)));
    print(evalf(instable(n,11/2,61/11)));}

On obtient le même genre de résultat.

## 19.4 Suites doubles et calcul de 1/k pour k∈]0;2[

### 19.4.1 L’énoncé

Soient deux suites an et bn définies par :
a0=1, b0=1−k où k est un réel de ]0;2[ et
an=an−1(1+bn−1) et bn=bn−12

- Montrer que bn=b02n et que an=(1−bn)/k.
- En utilisant le tableur afficher les valeurs de an et bn pour k=0.25, 0.5, 0.75, 1.25, 1.5, 1.75. En déduire le comportement des suites an et bn
- En déduire un programme qui calcule 1/k avec une précision donnée en ne faisant que des additions et des multiplications.

### 19.4.2 La correction avec `Xcas`

- Il est facile de montrer par récurrence que bn=b02n, en effet :
  b0=b020=b01
  si =bn−1=b02n−1 alors bn=bn−12=b02n−1*2=b02n.
  Montrons par récurrence que an=(1−bn)/k, on a :
  a0=(1−b0)/x=1 et
  si an−1=(1−bn−1)/k alors
  an=(1−bn−1)/k*(1+bn−1)=(1−bn−12)/k=(1−bn)/k.
- On met dans la colonne A les valeurs de an :
  1 dans A0 puis
  =A0*(1+B0) dans A1 puis on remplit vers le bas,
  1−C0 dans B0 puis
  =B02 dans B1 puis on remplit vers le bas,
  On met dans C0 la valeur de k.
  On remarque la suite bn converge vers 0 et que an converge vers 1/k. On a en effet :
  |b0|=|1−k|<1 donc bn=b02n tend vers 0 quand n tend vers l’infini,
  an=(1−bn)/k tend donc vers 1/k quand n tend vers l’infini et on a :
  an−1/k=−bn/k<0 et |an−1/k|=abs(bn)/k<eps équivaut à |bn|<k*eps

-     Invers(k,eps):={
      local a,b;
      a:=1;
      b:=1-k;
      tantque k*eps<=abs(b) faire
      a:=a*(1+b);
      b:=b^2;
      ftantque;
      retourne a;
      }:;

  On tape : `Invers(1.75,1e-20)`
  On obtient : `0.571428571428571428570`

## 19.5 Encore des suites !

### 19.5.1 L’énoncé

Soient a∈[0;1[ et b∈[0;1[. On considère les suites an et bn qui vérifient a0=a et b0=b et la même relation de récurrence :
si 2an−1<1, an=2an−1 et sinon an=1−2an−1.

- Écrire un programme qui calcule a0,a1...an.
- On considère la suite un=an−bn Écrire un programme qui trace le graphe (n,un) pour n∈[0;100].
- On observe que pour n>=50 un=0. Qu’en pensez-vous?

### 19.5.2 La correction avec `Xcas`

-     suite(a,n):={
        local u,u1,j,L;
        u:=a;
        L:=a;
        si a>=1 alors retourne "erreur"; fsi
        pour j de 1 jusque n faire
        u1:=2*u;
        si u1<1 alors
           u:=u1;
        sinon
           u:=u1-1;
        fsi;
        L:=L,u;
        fpour;
        retourne L;
      }:;

  On tape : `suite(0.4,6)`
  On obtient :
  `0.4,0.8,0.6,0.2,0.4,0.8,0.599999999999`

-     diffsuite(a,b,n):={
        local u,u1,v,v1,j,L;
        u:=a;
        v:=b;
        L:=point((a-b)*i);
        si a>=1 ou b>=1 alors retourne "erreur"; fsi
        pour j de 1 jusque n faire
        u1:=2*u;
        v1:=2*v;
        si u1<1 alors
           u:=u1;
        sinon
           u:=u1-1;
        fsi;
        si v1<1 alors
           v:=v1;
        sinon
           v:=v1-1;
        fsi
        L:=L,point(j+(u-v)*i);
        fpour;
        retourne L;
      }:;

  On tape : `diffsuite(0.4,0.82,100)`
  On obtient :
- On tape : `diffsuite(4/10,82/100,100)`
  On obtient :
  La suite un=an+bn semble être périodique quand a et b sont des nombres d’ecimaux et ce sont les erreurs d’arrondis qui font que un semble nulle pour n>50.
  On tape : `diffsuite(pi-3,e-2,100)`
  On obtient avec 20 chiffres significatifs :
- On tape : `diffsuite(pi-3,e-2,100)`
  On obtient avec 35 chiffres significatifs :

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