### 6.7.24 Restes chinois : `ichinrem, ichrem`

`ichinrem([a,p],[b,q])` ou `ichrem([a,p],[b,q])` désigne une liste `[c,lcm(p,q)]` formée de deux entiers.
Le premier nombre `c` est tel que

∀ k ∈ ℤ, d=c+ k × lcm(p,q)

l vérifie

d=a (mod p ), d=b (mod q )

Si `p` et `q` sont premiers entre eux, il existe toujours une solution `d` et toutes les solutions sont alors congrues modulo `p*q`
Exemples :
Trouver les solutions de :

`⎧ ⎨ ⎩` |
`x=` | `3 (``mod` `5)`
`x=` | `9 (``mod` `13)`

On tape :

`ichinrem([3,5],[9,13])`

ou on tape :

`ichrem([3,5],[9,13])`

On obtient :

`[-17,65]`

ce qui veut dire que `x=-17 (mod 65)`
On peut aussi taper :

`ichrem(3% 5,9% 13)`

On obtient :

`-17% 65`

Trouver les solutions de :

`⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩` |
`x=` | `3 (``mod` `5)`
`x=` | `4 (``mod` `7)`
`x=` | `1 (``mod` `9)`

On tape tout d’abord :

`tmp:=ichinrem([3,5],[4,7])`

ou on tape :

`tmp:=ichrem([3,5],[4,7])`

On obtient :

`[-17,35]`

puis on tape

`ichinrem([1,9],tmp)`

ou on tape :

`ichrem([1,9],tmp)`

On obtient :

`[-17,315]`

ce qui veut dire que `x=-17 (mod 315)`
On peut aussi taper directement :

`ichinrem([3% 5,4% 7,1% 9])`

On obtient :

`-17% 315`

Remarque
`ichrem` (ou `ichinrem`) peut aussi être utiliser pour trouver les coefficients de polynômes qui sont connus modulo plusieurs entiers, par exemple trouver ax+b modulo 315=5 × 7 × 9 tel que :

`⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩` |
`a=` | `3 (``mod` `5)`
`a=` | `4 (``mod` `7)`
`a=` | `1 (``mod` `9)`
| , |
`⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩` |
`b=` | `1 (``mod` `5)`
`b=` | `2 (``mod` `7)`
`b=` | `3 (``mod` `9)`

On tape :

`ichrem((3x+1)% 5,(4x+2)% 7,(x+3)% 9)`

On obtient :

`(-17% 315``×``x+156% 315`

ce qui veut dire que `a=-17 (mod 315)` et `b=156 (mod 315)`.