# Chapitre 7 Pour s’amuser avec les mesures

## 7.1 La ficelle et la terre

Imaginez qu’avec une ficelle vous fassiez le tour de la terre. Puis vous rajoutez un mètre à cette ficelle et vous ceinturez à nouveau la terre. À quelle distance du sol va alors se trouver la ficelle ?
Même question avec une balle de tennis.
Si r est le rayon de la terre en mètre (ou de la balle de tennis), son périmètre est donc : 2π r. La ficelle va donc mesurer 2π r+1 et cela correspond à un rayon R vérifiant 2π r+1=2π R. Donc 2π (R−r)=1 c’est à dire R−r=1/(2π).
On tape :
`evalf(1/2/pi)`
On obtient :
`0.159154943092`
Donc quelque soit le rayon de la sphère la ficelle va être à environ 15.9 cm de la surface de la sphère.

## 7.2 Aire d’un cercle troué

On perce un cercle de rayon R avec un cercle de même centre et de rayon r. Quelle est l’aire de ce cercle trouè. Exprimer cette aire en fonction de d=√R2−r2.
On sait que l’aire d’un cercle de rayon R est : π R2 L’aire du cercle troué est donc :

π(R2−r2)=π d2

L’aire d’un cercle troué est égale à l’aire du cercle de rayon d où d est la longueur de la demi-corde qui est tangente au trou.

## 7.3 Volume de la sphère trouée

### 7.3.1 Volume de la calotte de hauteur h d’une sphère de rayon R

On note R le rayon de la spère, r le rayon de la base de la calotte et h la hauteur de la calotte et on suppose que 0<h<R. 0n a donc : r2=R2−(R−h)2
On tape :
`assume(R>0 and h>0 and h<R)`
On calcule une intégrale triple :
∫02*π(∫0r(∫0√R2−r2dz)*ρ dρ)dθ
On tape :

`factor(int(int(int(1,z,R-h,sqrt(R```^```2-ro```^```2))*ro,
ro,0,sqrt(R```^```2-(R-h)```^```2)),t,0,2*pi))`

On obtient :
`(h```^```2*pi*(3*R-h))/3`
Donc le volume de la calotte de hauteur h d’une spère de rayon R est :

VC=π h2 |
3*R−h
3

Vérification On sait que le volume d’une sphère de rayon R est : 4/3π R3 Le volume de 2 calottes sphériques de rayon R a pour hauteur R est :
2π R23*R−R/3=4/3π R3

### 7.3.2 Volume d’une sphère trouée

On perce une sphère de rayon R avec un cylindre ayant pour axe un diamètre de la sphère et comme base un cercle de rayon r. Quelle est le volume de cette sphère trouèe. Exprimer ce volume en fonction de d=√R2−r2.
Avec les notations précédentes on a enlevé à la sphère :
un cylindre ayant comme base un cercle de rayon r comme hauteur 2d et comme volume 2π r2d=2π (R2−d2)d et,
2 calottes sphériques ayant comme base un cercle de rayon r et ayant comme hauteur h=R−d.
On sait que le volume d’une sphère de rayon R est : 4/3π R3 Le volume de cette sphère trouèe est donc :

4
3
| π R3−2π h2 |
3*R−h
3
| −2π r2d

On tape :
`factor(2*pi/3*(2*R```^```3-(R-d)```^```2*(3*R-(R-d))-3*(R```^```2-d```^```2)*d))`
On obtient :
`(4*d```^```3*pi)/3`
Donc le volume d’une spère de rayon R trouée par un cylindre d’axe un diamètre et de hauteur 2d est :

VST= |
4
3
| π d3

c’est à dire le volume d’une spère de rayon R trouée par un cylindre d’axe un diamètre et de hauteur 2d est égal au volume d’une sphère de rayon d.