Chapitre 3 Les fractions continues et π
3.1 Développement en fractions continues de π
Avec Xcas si on tape :
evalf(pi,21)
On obtient :
3.141592653589793238462
Une valeur approchée par excès de π par un rationnel est :
On a 22/7≃ 3.14285714286 ce qui fait 2 décimales exactes et
evalf(22/7-pi) renvoie 0.00126448926721
Donc 0<22/7−0.0013<π<22/7 et 0<22/7−π<1.310−3
Une autre valeur approchée par excès de π par un rationnel est :
On a 355/113≃ 3.14159292035 ce qui fait 6 décimales exactes et
evalf(355/113-pi) renvoie 2.66764118351e-07
Donc 0<355/113−2.67e−07<π<355/113
Une valeur approchée par défaut de π par un rationnel est :
On a 333/106≃ 3.14150943396 ce qui fait 4 décimales exactes
et
evalf(pi-333/106) renvoie 8.32196276406e-05
Donc
Ces approximations viennent du développement en fractions continues de π.
On tape :
dfc(pi)
On obtient :
[3,7,15,1,292,1,1]
On tape :
dfc2f([3,7])
On obtient 3+1/7 :
22/7
On tape :
dfc2f([3,7,15])
On obtient 3+1/(7+1/15):
333/106
On tape :
dfc2f([3,7,15,1])
On obtient 3+1/(7+1/(15+1)) :
355/113
3.2 construction d’un carré ayant pour aire 22/7
Ce carré a pour coté : √22/√7.
On a :
22=52−3 et 7=22+3
Donc :
√22 est le 2ième côté de l’angle droit d’un triangle
rectangle dont l’hypoténuse a pour longueur 5 et un côté de l’angle droit
a pour longueur √3.
√7 est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les
côtés de l’angle droit ont pour longueur 2 et √3.
On tape :
triangle_equilateral(1,3,C):;;
C:=C;
A:=point(-1);B:=point(1);
l:=normal(longueur(A,C));
D:=point(4);
segment(A,D);
c:=cercle(A,D);
F:=inter(c,cercle(A,l/2),C);
normal(longueur2(F,D));
normal(longueur2(D,C));
G:=D+(C-D)/longueur(C,D);
normal(longueur2(D,G));
H:=normal(inter_unique(segment(D,F),parallele(G,droite(F,C))));
normal(longueur(H,D));
segment(F,D),segment(D,C);
carre(D,H,K,L,affichage=1);
On obtient l’aire du carré rouge approche par excèsà 1.310−3
l’aire du cercle rouge de diamètre AB:

On a :
normal(longueur(A,C)); renvoie 2*sqrt(3)
normal(longueur2(F,D) renvoie 22
normal(longueur2(D,C)); renvoie 7
normal(longueur2(D,G)) renvoie 1
normal(longueur(H,D)); renvoie (sqrt(154))/7
normal(longueur2(H,D)); renvoie 22/7
aire(carre(D,H)) renvoie 22/7
3.3 construction d’un carré ayant pour aire 355/113
Ce carré a pour coté : √355/√113.
On a :
355=182+31 et 113=122−31
355/92=4+31/92 et 113/62=4−31/62
Il reste a construire √31. On a :
31=62−5