επόμενο: Σωστό ή λάθος; εμφάνιση: Ασκήσεις λυμένες με το Xcas προηγούμενο: Διαφορικές εξισώσεων Πίνακας περιεχομένων Ευρετήριο

## Πίνακες

1. Έστω ο πίνακας Ma =
   a) Για ποιες τιμές του a, είναι ο Ma αντιστρέψιμος;
   Προσδιορίστε την τάξη του όταν δεν είναι αντιστρέψιμος.
   b) Υπολογίστε τον αντίστροφο του πίνακα M2.

   Απάντηση :
   Εισάγουμε τον πίνακα πληκτρολογώντας:

   `M:=[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]]`
   Για να υπολογίσουμε την ορίζουσα του M, πληκτρολογούμε:
   `det(M)`
   και παίρνουμε:
   `2*a^4+-2*a^3+-2*a^2+2*a`
   Για να βρούμε τον αντίστροφο του M πληκτρολογούμε:
   `inv(M)`
   και παίρνουμε:

   Για να έχει αντίστροφο, πρέπει ο παρανομαστής να είναι διάφορος του 0. Πληκτρολογούμε:
   `solve(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a,a)`
   και βλέπουμε πως:
   `[-1,0,1]`
   ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος εάν a [- 1, 0, 1]
   Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε παραγοντοποιώντας τον παρανομαστή:
   `factor(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a)`
   διότι το αποτέλεσμα είναι:
   `2*(a+1)*a*(a-1)^2`
   Για να βρούμε την τάξη του πίνακα όταν δεν είναι αντιστρέψιμος πληκτρολογούμε:
   `[rank(subst(M,a,-1)),rank(subst(M,a,0)),rank(subst(M,a,1))]`
   και βλεπουμε πως είναι:
   `[2, 2, 1]`
   Για να βρούμε τώρα τον αντίστροφο του πίνακα M2 πληκτρολογούμε:
   `inv(subst(M,a,2))`
   και παίρνουμε:
   A =
   Επισήμανση: για να μην κάνουμε αντικαταστάσεις μπορούμε να ορίσουμε τον πίνακα M σαν συνάρτηση του a, γράφοντας:
   `M(a):=[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]]`
   Για να βρούμε τώρα τον αντίστροφο του πίνακα M2 πληκτρολογούμε απλά: `inv(M(2))`.

2. Έστω ο πίνακας A =
   Για ποιές τιμές του a, διαγωνοποιείται;

   Απάντηση:

   Ορίζουμε τον πίνακα πληκτρολογώντας:

   `A:=[[1,1,a],[1,a,1],[a,1,1]]`
   Για να δούμε για ποιες τιμές του a διαγωνοποιείται ο πίνακας, βρίσκουμε την μορφή Jordan του A πληκτρολογώντας:
   `egvl(A)`
   Από το αποτέλεσμα:

   που γράφεται και:
   `[[-a+1,0,0],[0,a+2,0],[0,0,a-1]]`
   βλέπουμε πως άν a 1 υπάρχουν 3 διακριτές ιδιοτιμές - a + 1, a + 2, a - 1, ενώ άν a = 1 υπάρχει μία διπλή ιδιοτιμή ( = 0) και μία απλή ιδιοτιμή ( = 3).
   Στην συνέχεια βρίσκουμε τον πίνακα μετάβασης από τα ιδιοδιανύσματα, πληκτρολογώντας:
   `egv(A)`
   Τα ιδιοδιανύσματα είναι οι στήλες του πίνακα:

   που γράφεται και:
   `[[1,1,1],[0,1,-2],[-1,1,1]]`
   Μπορούμε επίσης να έχουμε ταυτόχρονα και τον πίνακα μετάβασης και την μορφή Jordan του πίνακα A πληκτρολογώντας:
   `jordan(A)`
   Το αποτέλεσμα είναι μία λίστα δύο πινάκων [P, B] όπου ο P είναι ο πίνακας μετάβασης και B = P-1AP:

   που γράφεται και:
   `[[[1,1,1],[0,1,-2],[-1,1,1]],[[-a+1,0,0],[0,a+2,0],[0,0,a-1]]]`
   Παρατηρούμε ότι εκτελώντας: `a:=1` και στην συνέχεια `jordan(A)` ομαδοποιούνται οι διπλές ιδιοτιμές και παίρνουμε:

   που γράφεται και:
   `[[[1,-3,0],[1,0,-3],[1,3,3]],[[3,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]]`
   Βλέπουμε λοιπόν πως ο A διαγωνοποιείται για οποιαδήποτε τιμή και αν έχει το a και B = P-1AP.

επόμενο: Σωστό ή λάθος; εμφάνιση: Ασκήσεις λυμένες με το Xcas προηγούμενο: Διαφορικές εξισώσεων Πίνακας περιεχομένων Ευρετήριο
Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας