### 1.33.2 Ανάπτυγμα `Taylor``:` `taylor`

`taylor` παίρνει από 1 μέχρι 4 ορίσματα :

- μια παράσταση που εξαρτάται από μια μεταβλητή (από προεπιλογή `x`),
- μια ισότητα `variable=value` (π.χ. x=a) για τον υπολογισμό του αναπτύγματος `Taylor`, από προεπιλογή `x=0`,
- έναν ακέραιο n, την τάξη του αναπτύγματος σε σειρά, από προεπιλογή `5`,
- μια κατεύθυνση `-1, 1` (για ανάπτυγμα σε σειρά προς μία κατεύθυνση) ή `0` (για ανάπτυγμα σε σειρά σε δύο κατευθύνσεις) (από προεπιλογή `0`).

Σημειώσατε ότι η σύνταξη `…,``x``,``n``,``a``,...` (αντί για `…,``x=a``,``n``,...`) είναι επίσης αποδεκτή.
`taylor` επιστρέφει ένα πολυώνυμο ως προς `x-a`, συν ένα υπόλοιπο της μορφής:
`(x-a)```^```n*order_size(x-a)`
όπου `order_size` είναι μια συνάρτηση τέτοια ώστε,

`∀ r>0,`

``
`lim`
``x→ 0``

`x``r``` `order_size``(x) = 0`

Για κανονικό ανάπτυγμα σε σειρά, η `order_size` είναι μια φραγμένη συνάρτηση, αλλά για μη κανονικό ανάπτυγμα σε σειρά, μπορεί να τείνει αργά στο άπειρο, για παράδειγμα σαν μια δύναμη του ln(x).
Είσοδος :

`taylor(sin(x),x=1,2)`

ή (προσέξτε την διάταξη των ορισμάτων !) :

`taylor(sin(x),x,2,1)`

Έξοδος :

`sin(1)+cos(1)*(x-1)+(-(1/2*sin(1)))*(x-1)```^```2+ (x-1)```^```3*order_size(x-1)`

Σχόλιο
Η τάξη που επιστρέφεται από την `taylor` μπορεί να είναι μικρότερη από n εάν γίνονται απαλοιφές μεταξύ αριθμητών και παρονομαστών, για παράδειγμα

taylor(

x3+sin(x)3
x−sin(x)

)

Είσοδος :

`taylor(x```^```3+sin(x)```^```3/(x-sin(x)))`

Η έξοδος είναι ανάπτυγμα σε σειρά μόνο δεύτερης τάξης :

`6+-27/10*x```^2```+x```^```3*order_size(x)`

Πράγματι, ο μικρότερος βαθμός του αριθμητή και του παρονομαστή είναι 3, και γι’ αυτό χάνουμε 3 τάξεις. Για να πάρουμε ανάπτυγμα σε σειρά 4ης τάξης, πρέπει να ζητήσουμε n=7, εισάγοντας :

`taylor(x```^```3+sin(x)```^```3/(x-sin(x)),x=0,7)`

Έξοδος είναι ανάπτυγμα σε σειρά 4ης τάξης :

`6+-27/10*x```^```2+x```^```3+711/1400*x```^```4+x```^```5*order_size(x)`