### 1.53.2 Μετασχηματισμός `Laplace` και αντίστροφος μετασχηματισμός `Laplace` : `laplace ilaplace`

`laplace` (ή `ilaplace`) παίρνει ένα, δύο ή τρία ορίσματα : μια παράσταση και προαιρετικά το (τα) όνομα (ονόματα) της (των) μεταβλητής (μεταβλητών).
Η παράσταση είναι ως προς την τρέχουσα μεταβλητή (όπου x) ή ως προς την μεταβλητή που δίνεται σαν δεύτερο όρισμα.
`laplace` επιστρέφει τον μετασχηματισμό `Laplace` της παράστασης που δίνεται ως όρισμα και η `ilaplace` τον αντίστροφο μετασχηματισμό `Laplace` της παράστασης που δίνεται ως όρισμα. Το αποτέλσμα της `laplace` και της `ilaplace` είναι ως προς την μεταβλητή που δίνεται σαν τρίτο όρισμα, εάν αυτό παρέχεται, ή ως προς το δεύτερο όρισμα εάν αυτό παρέχεται ή διαφορετικά ως προς x.

Ο μετασχηματισμός `Laplace` ( `laplace`) και ο αντίστροφος μετασχηματισμός `Laplace` ( `ilaplace`) χρησιμεύουν στην επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Για παράδειγμα :

y″ +p. y ′+q. y = f(x)

y(0)=a, y′(0)=b

Συμβολίζοντας με L τον μετασχηματισμό `Laplace`, οι ακόλουθες σχέσεις ισχύουν :

L(y)(x)

=

∫

+∞
0

e−x.uy(u)du

L−1(g)(x)

=

1
2iπ

∫

C

ez.xg(z)dz

όπου C είναι μία κλειστή καμπύλη που περιλαμβάνει τους πόλους του `g`.
Είσοδος :

`laplace(sin(x))`

Η παράσταση (εδώ sin(x)) είναι ως προς την τρέχουσα μεταβλητή (εδώ x) και η απάντηση θα είναι επίσης μια παράσταση ως προς την τρέχουσα μεταβλητή x.
Έξοδος :

`1/((-x)```^```2+1)`

Ή εισάγετε :

`laplace(sin(t),t)`

εδώ το όνομα μεταβλητής είναι t και αυτό το όνομα χρησιμοποιείται επίσης στην απάντηση.
Έξοδος :

`1/((-t)```^```2+1)`

Ή εισάγετε :

`laplace(sin(t),t,s)`

εδώ το όνομα της μεταβλητής είναι t και το όνομα της μεταβλητής στην απάντηση είναι s.
Έξοδος:

`1/((-s)```^```2+1)`

Οι ακόλουθες ιδιότητες ισχύουν :

L(y′)(x) | = | −y(0)+x.L(y)(x)
L(y″)(x) | = | −y′(0)+x.L(y′)(x)
| = | −y′(0)−x.y(0)+x2.L(y)(x)

Εάν y″(x) +p. y′(x)+q. y(x) = f(x) τότε :

L(f)(x) | = | L(y″+p.y′+q.y)(x)
| = | −y′(0)−x.y(0)+x2.L(y)(x)−p.y(0)+p.x.L(y)(x))+q.L(y)(x)
| = | (x2+p.x+q).L(y)(x)−y′(0)−(x+p).y(0)

Επομένως, εάν a=y(0) και b=y′(0), έχουμε

L(f)(x)=(x2+p.x+q).L(y)(x)−(x+p).a−b

και η λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι :

y(x)= L−1((L(f)(x)+(x+p).a +b)/(x2+p.x+q))

Παράδειγμα :
Λύστε :

y″ −6. y′+9. y = x. e3. x, y(0)=c_0, y′(0)=c_1

Εδώ, p=−6, q=9.
Εισάγετε :

`laplace(x*exp(3*x))`

Έξοδος :

`1/(x```^```2-6*x+9)`

Είσοδος:

`ilaplace((1/(x```^```2-6*x+9)+(x-6)*c_0+c_1)/(x```^```2-6*x+9))`

Έξοδος :

`(216*x```^```3-3888*x*c_0+1296*x*c_1+1296*c_0)*exp(3*x)/1296`

Μετά από απλοποίηση και παραγοντοποίηση (με την εντολή `factor`) η λύση y είναι :

`(-18*c_0*x+6*c_0+x```^```3+6*x*c_1)*exp(3*x)/6`

Σημειώστε ότι αυτή η εξίσωση θα μπορούσε να λυθεί άμεσα, εισάγοντας :

`desolve(y``″``-6*y``′``+9*y=x*exp(3*x),y)`

Έξοδος :

`exp(3*x)*(-18*c_0*x+6*c_0+x```^```3+6*x*c_1)/6`