επόμενο: Άσκηση 2η εμφάνιση: Συνάρτηση και γραφική παράσταση προηγούμενο: Συνάρτηση και γραφική παράσταση Πίνακας περιεχομένων Ευρετήριο

### Άσκηση 1η

Έστω η (πραγματική) συνάρτηση f από το -{3} στο που ορίζεται ως:

f (x) = (x + 1)ln| x - 3|.

1. Υπολογίστε την πρώτη παράγωγο f'(x) και την δεύτερη παράγωγο f''(x) της f(x).
2. Υπολογίστε τα όρια της f'(x) στο - και στο 3 από αριστερά.
3. Αποδείξτε ότι η f'(x) μηδενίζεται μία φορά, στο σημείο του ανοικτού διαστήματος ] - , 3[. Υπολογίστε το διάστημα πλάτους 0.1 που περιέχει το .
4. Μελετήστε το πρόσημο της f'(x) στο -{3} και συμπεράνετε τις μεταβολές της f(x).
5. Σχεδιάστε την γραφική παράσταση C της f(x) σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων (μονάδος 1cm).
6. Υπολογίστε, σε cm2, το εμβαδόν της περιοχής με σύνορα την καμπύλη C, τον άξονα των x και τις ευθείες με εξισώσεις x = - 1 και x = 2.

Απαντήσεις

1. Για να ορίσουμε την συνάρτηση f(x) πληκτρολογούμε:
   `f(x):=(x+1)*ln(abs(x-3))`
   Για την συνάρτηση f'(x) πρώτα πληκτρολογούμε:
   `f1:=function_diff(f):;`
   και στην συνέχεια,
   `f1(x)`
   για να πάρουμε:
   `ln(abs(x-3))+(x+1)/(x-3)`
   Άρα f'(x) = ln(| x - 3|) + .
   Τέλος, για την συνάρτηση f''(x) πρώτα πληκτρολογούμε:
   `f2:=function_diff(f1):;`
   και στην συνέχεια,
   `f2(x)`
   για να πάρουμε :
   `1/(x-3)+1/(x-3)+(x+1)*(-(1/((x-3)^2)))`
   Την τελευταία παράσταση μπορούμε να την απλοποιήσουμε πληκτρολογώντας πρώτα:
   `normal(f2(x))`
   για να πάρουμε :
   `(x-7)/(x^2-6*x+9)`
   και στην συνέχεια την παραγοντοποιούμε, πληκτρολογώντας:
   `factor(f2(x))`
   για να πάρουμε :
   `(x-7)/((x-3)^2)`
   Άρα f''(x) =

2. Για να βρούμε το όριο της f'(x) στο - πληκτρολογούμε:
   `limit(f1(x),x,-infinity)`
   και βλέπουμε πως είναι το +άπειρο :
   `+infinity`
   Για να πάρουμε το όριο της f'(x) στο 3 από αριστερά πληκτρολογούμε:
   `limit(f1(x),x,3,-1)`
   και βλέπουμε πως είναι το -άπειρο:
   `-infinity`
3. Προσέξτε πως η f''(x) < 0 στο διάστημα ] - , 3[, με συνέπεια η f'(x) να είναι συνεχής και φθίνουσα στο διάστημα αυτό. Επιπλέον είδαμε στην δεύτερη ερώτηση πως οι τιμές της f'(x) στα άκρα του διαστήματος ] - , 3[ είναι αντίθετες. Υπάρχει λοιπόν ένα μοναδικό στο διάστημα ] - , 3[ έτσι ώστε f'() = 0.
   Για να βρούμε την προσεγγιστική τιμή του πληκτρολογούμε:
   `fsolve(f1(x),x)`
   και βλέπουμε πως το είναι :
   `0.776592890991`
   Για να βρούμε τώρα το διάστημα πλάτους 0.1 που περιέχει το πληκτρολογούμε:
   `[f1(0.7), f1(0.8)]`
   και παίρνουμε:
   `[0.0937786881525,-0.0297244578175]`
   Βλέπουμε λοιπόν πως f'(0.7) = f1(0.7) > 0 και f'(0.8) = f1(0.8) < 0, και άρα 0.7 < < 0;8.
4. Επειδή f''(7) = 0, βλέπουμε πως το ελάχιστο της f'(x) στο διάστημα ]3, + [ είναι f'(7). Πληκτρολογώντας:
   `f1(7)`
   παίρνουμε:
   `ln(4)+2`
   που σημαίνει πως το ελάχιστο της f'(x) στο ]3, + [ είναι θετικό. Άρα f'(x) > 0 εάν x ] - , [ ]3, + [ και f'(x) < 0 εάν x ], 3[ και συνεπώς η f(x) είναι αύξουσα στο ] - , [ ]3, + [ και είναι φθίνουσα στο ], 3[.
5. Για να σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση της f(x) και των δύο ευθειών x = - 1 και x = 2, πληκτρολογούμε:
   `plotfunc(f(x),x=-14..14);line(x=-1);line(x=2)`
6. Για να βρούμε το εμβαδόν της καθορισμένης περιοχής σε cm2 πληκτρολογούμε:
   `integrate(f(x),x,-1,2)`
   και παίρνουμε σαν αποτέλεσμα:
   `8*ln(4)-12+15/4`
   το οποίο στην συνέχεια φέρνουμε στην κανονική του μορφή πληκτρολογώντας:
   `normal(8*ln(4)-12+15/4))`
   για να πάρουμε:
   `8*ln(4)-33/4`
   Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι (8*ln(4) - 33/4)cm2;

επόμενο: Άσκηση 2η εμφάνιση: Συνάρτηση και γραφική παράσταση προηγούμενο: Συνάρτηση και γραφική παράσταση Πίνακας περιεχομένων Ευρετήριο
Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας