### 1.29.2 Ακριβή όρια για πραγματικές ρίζες πολυωνύμου :
`realroot`

`realroot` έχει ένα, δύο ή τέσσερα ορίσματα : ένα πολυώνυμο και προαιρετικά έναν πραγματικό αριθμό є και δύο πραγματικούς αριθμούς α,β.
`realroot` επιστρέφει μια λίστα από διανύσματα.

- Εάν η `realroot` έχει ένα ή δύο ορίσματα, τα στοιχεία του κάθε διανύσματος είναι
  - είτε ένα πραγματικό διάστημα που περιέχει μια πραγματική ρίζα του πολυωνύμου και η πολλαπλότητα αυτής της ρίζας. (Αν το διάστημα είναι [a1,a2], και υπάρχει δεύτερο όρισμα, τότε |a1−a2|<є και η ρίζα a επαληθεύει την σχέση a1 < a < a2.)
  - είτε η τιμή μιας ακριβούς πραγματικής ρίζας του πολυωνύμου (τα άκρα του διαστήματος ταυτίζονται, a1=a2) και η πολλαπλότητα αυτής της ρίζας.
- Εάν η `realroot` έχει τέσσερα ορίσματα, η `realroot` επιστρέφει μια λίστα από διανύσματα όπως παραπάνω, αλλά μόνο για τις ρίζες μέσα στο διάστημα [α,β].

Προσοχή: Για την απομόνωση των πραγματικών ριζών (δηλαδή όταν καλούμε την `realroot` με ένα ή δύο ορίσματα) από προεπιλογή `realroot` χρησιμοποιεί την μέθοδο `Vincent-Akritas-Strzebonski (VAS)` (βλέπε το άρθρο: Alkiviadis G. Akritas, Adam W. Strzebonski: A Comparative Study of Two Real Root Isolation Methods. Nonlinear Analysis: Modelling and Control, Vol. 10, No. 4, 297–304, 2005.) Στην περίπτωση αυτή, για να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο Sturm γράφουμε `realroot(sturm,` ορίσματα).
Για να βρούμε τις πραγματικές ρίζες του x3−7x+7, εισάγουμε:

`realroot(x```^```3-7x+7)`

Έξοδος :

`[[[-4,0],1],[[1,3/2],1],[[3/2,2],1]]]`

Εδώ χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος VAS. Για να δούμε το αποτέλεσμα με την μέθοδο Sturm και για є = 1 εισάγουμε:

`realroot(sturm, x```^```3-7x+7, 1)`

Έξοδος :

`[[[-7/2,-3],1],[[1,3/2],1],[[3/2,2],1]]]`

Για να βρούμε τις πραγματικές ρίζες του x3−7x+7 στο διάστημα [0,2] για є = 1, εισάγουμε:

`realroot(x```^```3-7x+7,1,0,2)`

Έξοδος :

`[[[1,3/2],1],[[3/2,2],1]]]`