επόμενο: Πεπερασμένα αναπτύγματα εμφάνιση: Ασκήσεις λυμένες με το Xcas προηγούμενο: Άσκηση 2 Πίνακας περιεχομένων Ευρετήριο

## Υπολογισμός αορίστων ολοκληρωμάτων

1. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:

   dx

   Απάντηση:

   Πληκτρολογούμε:

   `int(1/(x^3+1),x,1,2)`
   και αφού απλοποιήσουμε το αποτέλεσμα με την συνάρτηση `normal` έχουμε
   `(pi*sqrt(3)+ln(27/64))/18`
   Για να επιβεβαιώσουμε το αποτέλεσμα, αναλύουμε το αρχικό κλάσμα σε μερικά (ή απλά) κλάσματα πληκτρολογώντας:
   `partfrac(1/(1+t^3))`
   Το αποτέλεσμα που παίρνουμε είναι:
   `1/((t+1)*3)+(-1/3*t+2/3)/(t^2-t+1)`
   και ολοκληρώνοντας κάθε όρο ξεχωριστά βλέπουμε πως το αποτέλεσμα που βρήκαμε είναι σωστό...

2. Στο αναλύσετε το σε μερικά (ή απλά) κλάσματα, και υπολογίστε τα ολοκλήρώματα dt και dx
   Απάντηση:

   Για την ανάλυση σε μερικά (ή απλά) κλάσματα πληκτρολογούμε:

   `partfrac(t^2/(1-t^4))`
   και το αποτέλεσμα είναι:
   `-1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1)`
   Για το πρώτο ολοκλήρωμα πληκτρολογούμε είτε το ανάπτυγμα:
   `int(-1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1),t)`
   είτε την αρχική παράσταση:
   `int(t^2/(1-t^4),t)`
   και το αποτέλεσμα είναι:
   `-1/2*atan(t)+1/4*ln(abs(t+1))-1/4*ln(abs(t-1))`
   Για το δεύτερο ολοκλήρωμα πληκτρολογούμε:
   `normal(int(sin(x)^2/cos(2*x),x))`
   και το αποτέλεσμα είναι:
   `-1/2*x-(-1)/4*ln(abs(tan(x)+1))-1/4*ln(abs(tan(x)-1))`
   Ακόμα αν θέλουμε μπορούμε να κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής tan(x) = t για να πάρουμε την έκφραση συναρτήσει της εφαπτομένης. Προς τον σκοπό αυτό πληκτρολογούμε,
   `trigtan(texpand(sin(x)^2/cos(2x)))`
   και παίρνουμε:
   `(-((tan(x))^2))/((tan(x))^2-1)`
   Για να κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής x =atan(t) πληκτρολογούμε είτε:
   `subst('integrate(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x)',x=atan(t))`
   είτε
   `subst(Int(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x),x=atan(t))`
   και παίρνουμε
   `integrate((-(t^2))/((1+t^2)*(t^2-1)),t)`

επόμενο: Πεπερασμένα αναπτύγματα εμφάνιση: Ασκήσεις λυμένες με το Xcas προηγούμενο: Άσκηση 2 Πίνακας των περιεχομένων Ευρετήριο
Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας