### 6.55.2 Transformée de Laplace et transformée de Laplace inverse : `laplace ilaplace invlaplace`

`laplace` et `ilaplace` (ou `invlaplace`) ont 1, 2 ou 3 arguments :
l’expression que l’on transforme et éventuellement le nom de 2 variables.
L’expression est une expression de la variable courante (ici x) ou l’expression que l’on transforme est une expression de la variable donnèe comme deuxième argument.
`laplace` est la transformée de Laplace de l’expression donnée comme argument et `ilaplace` (ou `invlaplace`) est la transformée de Laplace inverse de l’expression donnée comme argument. Le résultat de `laplace` et `ilaplace` (ou `invlaplace`) est une expression de variable le troisième argument ou par défaut le second argument ou par défaut x.
Attention le second argument est le nom de la variable du premier argument et est ausi le nom de la variable du résultat lorsqu’il n’y a pas de 3-ième argument, par exemple :`laplace(sin(x),t)` renvoie `sin(x)/t`

On utilise la transformée de Laplace (`laplace`) et la transformée de Laplace inverse (`ilaplace` ou `invlaplace`) pour résoudre des équations différentielles linéaires à coefficients constants, par exemple :

y ′ ′ +p. y ′+q. y = f(x)

y(0)=a y′(0)=b

En notant L la transformée de Laplace, on a les relations suivantes :

L(y)(x)

=

∫

+∞
0

e−x.uy(u)du

L−1(g)(x)

=

1
2iπ

∫

C

ez.xg(z)dz

où C est une courbe fermée contenant les pôles de `g`.
`laplace` :
On tape :

`laplace(sin(x))`

ici on ne précise pas la variable, alors l’expression que l’on transforme L’expression (ici sin(x)) est une expression de la variable courante (ici x) et la transformée sera aussi une fonction de la variable x.
On obtient:

`1/(x```^```2+1)`

Ou on tape :

`laplace(sin(t),t)`

ici on précise le nom de la variable de la fonction que l’on transforme (ici t) et ce nom de variable sera utilisé pour la transformée de Laplace.
On obtient:

`1/(t```^```2+1)`

Ou on tape :

`laplace(sin(t),t,s)`

ici on précise le nom de la variable de la fonction que l’on transforme (ici t) et le nom de la variable que l’on désire avoir pour la transformée de Laplace (ici s).
On obtient:

`1/(s```^```2+1)`

`ilaplace` ou `invlaplace` :
On tape :

`ilaplace(1/(x```^```2+1))`

On obtient:

`sin(x)`

On tape :

`ilaplace(1/(t```^```2+1),t)`

On obtient:

`sin(t)`

On tape :

`ilaplace(1/(t```^```2+1),t,x)`

On obtient:

`sin(x)`

On utilise les propriétés suivantes :

L(y′)(x) | = | −y(0)+x.L(y)(x)
L(y″)(x) | = | −y′(0)+x.L(y′)(x)
| = | −y′(0)−x.y(0)+x2.L(y)(x)

On a donc si y ′ ′(x) +p. y ′(x)+q. y(x) = f(x) :

L(f)(x) | = | L(y″+p.y′+q.y)(x)
| = | −y′(0)−x.y(0)+x2.L(y)(x)−p.y(0)+p.x.L(y)(x))+q.L(y)(x)
| = | (x2+p.x+q).L(y)(x)−y′(0)−(x+p).y(0)

soit, si a=y(0) et b=y′(0) :

L aplace(f)(x)=(x2+p.x+q).L aplace(y)(x)−(x+p).a−b

La solution est alors :

y(x)= L−1((L(f)(x)+(x+p).a +b)/(x2+p.x+q))

Exemple :
Résoudre :

y′ ′ −6. y′+9. y = x. e3. x, y(0)=c_0, y′(0)=c_1

Ici, p=−6, q=9.
On tape :

`laplace(x*exp(3*x))`

On obtient :

`1/(x```^```2-6*x+9)`

On tape :

`ilaplace((1/(x```^```2-6*x+9)+(x-6)*c_0+c_1)/(x```^```2-6*x+9))`

On obtient

`(216*x```^```3-3888*x*c_0+1296*x*c_1+1296*c_0)*exp(3*x)/1296`

après simplification et factorisation (commande `factor`) la solution y s’écrit :

`(-18*c_0*x+6*c_0+x```^```3+6*x*c_1)*exp(3*x)/6`

On peut bien sûr taper directement :

`desolve(y’’-6*y’+9*y=x*exp(3*x),y)`

On obtient bien :

`exp(3*x)*(-18*c_0*x+6*c_0+x```^```3+6*x*c_1)/6`