### 1.6.11 Ακέραιο Ευκλείδειο υπόλοιπο : `irem remain smod mods mod %`

`irem` (ή `remain`) επιστρέφει το ακέραιο υπόλοιπο r της Ευκλείδειας διαίρεσης δύο ακεραίων a και b που δίνονται ώς ορίσματα. (a=b*q+r με 0≤ r< b).
Για Gaussian ακεραίους, επιλέγουμε το q ώστε b*q να είναι τόσο κοντά στο a όσο είναι αυτό δυνατό και μπορεί να αποδειχθεί ότι το r μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε |r|2 ≤ |b|2/2.
Είσοδος :

`irem(148,5)`

Έξοδος :

`3`

`irem` λειτουργεί με μεγάλου μήκους ακεραίους ή με Γκαουσιανούς ακεραίους.
Παράδειγμα :

`irem(factorial(148),factorial(45)+2 )`

Έξοδος :

`111615339728229933018338917803008301992120942047239639312`

Άλλο παράδειγμα

`irem(25+12*i,5+7*i)`

Έξοδος :

`-4+i`

Έδω το a−b*q=−4+i και |−4+i|2=17<|5+7*i|2/2=74/2=37

`smod` ή `mods` είναι μια προθηματική συνάρτηση και έχει δύο ακεραίους a και b ως ορίσματα.
`smod` ή `mods` επιστρέφει το συμμετρικό υπόλοιπο s της Ευκλείδειας διαίρεσης των ορισμάτων a και b (a=b*q+s με −b/2<s ≤ b/2).
Είσοδος :

`smod(148,5)`

Έξοδος :

`-2`

`mod` (ή `%`) είναι μια ενθηματική συνάρτηση και έχει δύο ακεραίους a και b ως ορίσματα.
`mod` (ή `%`) επιστρέφει r% b από Z/bZ όπου r είναι το υπόλοιπο της Ευκλείδειας διαίρεσης των ορισμάτων a και b.
Είσοδος :

`148 mod 5`

ή

`148 % 5`

Έξοδος :

`3 % 5`

Σημειώστε ότι η απάντηση `3 % 5` δεν είναι ακέραιος αριθμός (3) αλλά ένα στοιχείο Z/5Z (βλ. 1.31 για τις δυνατές πράξεις στο Z/5Z).