# Chapitre 12 Algorithmes sur les suites et les séries

L’objectif ici est de traduire les algorithmes en l’écriture de programmes. On écrit ici des programmes permettant d’avoir les termes d’une suite ou d’une série et de trouver des valeurs approchées de leur limites.
Mais, pour édutier les suites et les séries, on peut aussi utiliser le tableur ce qui est souvent plus facile que d’écrire un programme.

## 12.1 Les suites

Soit un une suite de réels définie soit par un=f(n), soit par une relation de récurrence un=f(un−m,..,un−1) et la donnée de ses premiers termes. On veut ici, calculer les valeurs de un. Pour les fonctions qui suivent, il suffira de rajouter la fonction `evalf` dans le `return` pour avoir une valeur approchée de un : par exemple `return evalf(uk)`.

### 12.1.1 Les suites un=f(n)

Pour avoir le n-ième terme un il suffit :
de définir la fonction f et de taper `f(n)`.
On peut aussi mettre f comme paramètre et taper :

    u(f,n):=f(n)

Ainsi `u(sq,3)` vaut `9` et `u(sqrt,3)` vaut `sqrt(3)`.
On remarquera qu’il est souvent préférable de simplifier l’écriture de `u(f,n)` avec la commande `normal` : mettre plutôt `normal` dans la définition de `f`.
Par exemple on définit : `f(x):=normal(x/sqrt(3)+sqrt(3))`).
On tape :
`u(f,3)`
On obtient :
`2*sqrt(3)`
On peut aussi considérer qu’il n’y a qu’un paramètre l qui est la séquence f,n et définir `u` par :

    u(l):=l[0](l[1])

Pour avoir la suite des termes uk, pour k allant de k0 à n, on écrit :

    utermes(f,k0,n):={
    local k,lres;
    lres:=NULL;
    for (k:=k0;k<=n;k++){
         lres:=lres,f(k);
    }
    return lres;
    }

On a choisit de mettre tous les termes cherchés dans une séquence.
On a : `lres:=NULL;` initialise la séquence à vide.
Par exemple, avec la fonction :
`f(x):=normal(x/sqrt(3)+sqrt(3))`).
On tape :
`utermes(f,0,5)`
On obtient :
`sqrt(3),4*sqrt(3)/3,5*sqrt(3)/3,2*sqrt(3),7*sqrt(3)/3,8*sqrt(3)/3`

### 12.1.2 La représentation des suites un=f(n)

On va représenter une suite un par des segments verticaux : le terme up sera représenté par le segment joignant le point (p,0) au point (p,f(p)).
Pour faire cette représentation, on définit la fonction f et on valide le programme suivant qui permet de représenter uj1=f(j1)..uj2=f(j2).

    plotsuite(f,j1,j2):={
    local j,P,L;
    L:=NULL;
    for (j:=j1;j<=j2;j++) {
    P:=point(j+i*u(j),couleur=point_width_4+noir);
    L:=L,segment(j,P,couleur=ligne_tiret+rouge),P;
    }
    return L;
    };

Exemple
`u(n):=1+(-1)```^```n/n`
puis,
`plotsuite(u,0,10)`
puis,
`plotsuite(u,20,30)`

### 12.1.3 La représentation des suites récurrentes u0=a,un=f(un−1)

Pour avoir les termes u0=a,...up, on définit la fonction f puis on tape :

    plotsuiterec1(f,a,p):={
    local j,P,L;
    L:=NULL;
    a:=evalf(a);
    for (j:=0;j<=p;j++) {
    P:=point(j+i*a,couleur=point_width_4+noir);
    L:=L,segment(j,P,couleur=ligne_tiret+rouge),P;
    a:=f(a);
    }
    return L;
    };

Exemple
`f(x):=x```^```2-2`
puis,
`plotsuiterec1(f,0,10)`
ou,
`plotsuiterec1(sq-2,0,10)`

### 12.1.4 La représentation des suites récurrentes [u0,u1,...us−1]=la, un=f(un−s...,un−1) si n>=s

Pour avoir les termes u0=la[0],u1=la[1],...up, on définit la fonction f puis on tape :

    plotsuiterec(f,la,p):={
    local j,P,L,s,a;
    L:=NULL;
    s:=size(la);
    la:=evalf(la);
    for (j:=0;j<s;j++) {
    P:=point(j+i*la[j],couleur=point_width_4+noir);
    L:=L,segment(j,P,couleur=ligne_tiret+rouge),P;
    }
    for (j:=s;j<=p;j++) {
    a:=f(op(la));
    P:=point(j+i*a,couleur=point_width_4+noir);
    L:=L,segment(j,P,couleur=ligne_tiret+rouge),P;
    la:=append(tail(la),a);
    }
    return L;
    };

Exemple
`f(x,y):=x+y`
puis,
`plotsuiterec(f,[0,1],6)`

### 12.1.5 L’escargot des suites récurrentes u(0)=a, u(n)=f(u(n−1) si n>0

Cette session se trouve dans `plottoile.xws`.
On rappelle que la commande `plotseq(f(x),a,p)` permet de visualiser les p premiers termes de la suite récurrente u0=a, un=f(un−1) si n>0 en visualisant "l’escargot". On se propose de réécrire cette commande de façon a bien mettre en evidence la construction des différents termes de la suite.
À la différence de `plotseq` la fonction `plottoile` a comme premier argument la fonction f et non l’expression f(x). On représente le premier terme u0 par une croix noire sur l’axe des x d’abscisse le deuxième argument. Pour avoir u1, on trace le segment vertical allant de la croix au graphe de f(x), puis le segment horizontal allant, du point du graphe de f(x) au graphe de la première bissectrice (pour reporter la valeur de f(u0) sur l’axe des x), puis, un segment vertical en pointillés allant, du graphe de la première bissectrice à l’axe des x pour tracer une croix rouge.
Pour avoir les termes suivants, on trace ensuite un segment vertical allant du point du graphe de la première bissectrice, au graphe de f(x), puis le segment horizontal allant, du point du graphe de f(x) au graphe de la première bissectrice, puis, un segment vertical jusqu’à l’axe des x pour tracer une croix rouge etc... On s’arrête lorsque l’on a dessiné p croix rouges, p etant le troisième argument.
On tape :

    plottoile(f,u,n):={
    local j,v,L,P;
    u:=evalf(u);
    P:=point(u,couleur=point_width_4+noir);
    if (n<=0 ) {return P;}
    v:=f(u);
    L:=segment(u,u+i*v,couleur=rouge),P;
    L:=L,segment(u+i*v,v+i*v,couleur=rouge);
    u:=v;
    v:=f(u);
    P:=point(u,couleur=point_width_4+rouge);
    L:=L,segment(u,u+i*u,couleur=ligne_tiret+rouge),P;
    for (j:=2;j<=n;j++) {
    L:=L,segment(u+i*u,u+i*v,couleur=rouge);
    L:=L,segment(u+i*v,v+i*v,couleur=rouge);
    u:=v;
    v:=f(u);
    P:=point(u,couleur=point_width_4+rouge);
    L:=L,segment(u,u+i*u,couleur=ligne_tiret+rouge),P;}
    return plotfunc(f(x),x,couleur=vert),plotfunc(x,x,couleur=bleu),L;
    };

Par exemple pour voir les premiers termes de :
u0=2, si n ≥ 1, un=cos(un−1), on tape : `plottoile(cos,2,5)`
On peut aussi noter les indices des termes de la suite pour la croix représentant uj en rajoutant `legende(u,j,quadrant4)`.

    plottoilegende(f,u,n):={
    local j,v,L,P;
    u:=evalf(u);
    P:=point(u,couleur=point_width_4+noir),legende(u,0,quadrant4);
    if (n<=0 ) {return P;}
    v:=f(u);
    L:=segment(u,u+i*v,couleur=rouge),P;
    L:=L,segment(u+i*v,v+i*v,couleur=rouge);
    u:=v;
    v:=f(u);
    P:=point(u,couleur=point_width_4+rouge),legende(u,1,quadrant4);
    L:=L,segment(u,u+i*u,couleur=ligne_tiret+rouge),P;
    for (j:=2;j<=n;j++) {
    L:=L,segment(u+i*u,u+i*v,couleur=rouge);
    L:=L,segment(u+i*v,v+i*v,couleur=rouge);
    u:=v;
    v:=f(u);
    P:=point(u,couleur=point_width_4+rouge),legende(u,j,quadrant4);
    L:=L,segment(u,u+i*u,couleur=ligne_tiret+rouge),P;}
    return plotfunc(f(x),x,couleur=vert),plotfunc(x,x,couleur=bleu),L;
    };

Par exemple pour voir les premiers termes avec leur indice de :
u0=2, si n ≥ 1, un=cos(un−1), on tape : `plottoilegende(cos,2,5)`
On peut aussi faire une animation qui montrera la progression de la construction. Pour cela on modifie la fonction `plottoile` en `toile` pour avoir dans `LT`, la progression du tracé. On remarquera que l’on met entre crochet les objets graphiques qui seront affichés simultanément lors de l’animation.
On tape :

    toile(f,u,n):={
    local j,v,L,P,LT;
    u:=evalf(u);
    P:=point(u,couleur=point_width_4+noir);
    v:=f(u);
    LT:=P;
    L:=segment(u,u+i*v,couleur=rouge);
    L:=L,segment(u+i*v,v+i*v,couleur=rouge);
    u:=v;
    v:=f(u);
    P:=point(u,couleur=point_width_4+rouge);
    L:=L,segment(u,u+i*u,couleur=ligne_tiret+rouge),P;
    LT:=LT,[LT,L];
    for (j:=2;j<=n;j++) {
    L:=L,segment(u+i*u,u+i*v,couleur=rouge);
    L:=L,segment(u+i*v,v+i*v,couleur=rouge);
    u:=v;
    v:=f(u);
    P:=point(u,couleur=point_width_4+rouge);
    L:=L,segment(u,u+i*u,couleur=ligne_tiret+rouge),P;
    LT:=LT,[LT,L];
    }
    return LT;
    };

Puis on anime la liste `LT` renvoyée par `toile`.

    animtoile(f,u,n):={
    local LT;
    LT:=toile(f,u,n);
    return plotfunc(f(x),x,couleur=vert),
           plotfunc(x,x,couleur=bleu),
           animation(LT);
    };

Par exemple pour voir en animation les premiers termes de :
u0=2, si n ≥ 1, un=cos(un−1), on tape : `animtoile(cos,2,5)`
On peut régler la vitesse d’animation avec `Menu ->Animation` (situé dans le pavé de boutons à droite de la fenêtre graphique).
On peut arrêter l’animation avec le bouton ▸| (à gauche de `Menu`) : il suffit alors, de cliquer dans la fenêtre graphique, pour que l’animation se déroule au pas à pas.

### 12.1.6 Les suites récurrentes définies par une fonction de plusieurs variables

#### Un exemple : la suite de Fibonnacci

Commençons par un exemple : la suite de Fibonnacci définie par :
u0=a
u1=b
un=un−1+un−2 pour n ≥ 2
On écrit pour avoir un:

    fibon(a,b,n):={
    local k,uk;
    for (k:=2;k<=n;k++) {
        uk:=a+b;
        a:=b;
        b:=uk;
    }
    return uk;
    }

On écrit pour avoir u0,u1...un:

    fibona(a,b,n):={
    local k,uk,res;
    res:=a,b;
    for (k:=2;k<=n;k++) {
        uk:=a+b;
        a:=b;
        b:=uk
        res:=res,uk;
    }
    return res;
    }

On écrit pour avoir uc,uc+1...un pour c ≥ 0 :

    fibonac(a,b,c,n):={
    local k,uk,res;
    for (k:=2;k<c;k++) {
        uk:=a+b;
        a:=b;
        b:=uk
    };
    if c>1 res:=NULL else
        if c==0 {res:=a,b;c:=2;} else
            if c==1 {res:=b;c:=2};
    for (k:=c;k<=n;k++) {
        uk:=a+b;
        a:=b;
        b:=uk
        res:=res,uk;
    }
    return res;
    }

Remarque On peut bien sûr écrire un programme récursif qui donne la valeur de un. Mais cela n’est pas efficace car on calcule plusieurs fois le même terme. Car par exemple pour calculer u5 on doit calculer u3 et u4 et pour calculer u4, il faudra à nouveau calculer u3 et u2, donc u3 sera calculé 2 fois et u2 sera calculé 3 fois. Pour s’en rendre compte on peut imprimer les valeurs des variables pour chacun des appels récursifs.

On a :
u0=u0
u1=u1
un=un−1+un−2 pour n ≥ 2
Donc

    fibonr(u0,u1,n):={
    if (n==0) {print(u0,u1,n);return u0;}
    if (n==1) {print(u0,u1,n)return u1;}
    print(u0,u1,n)
    return fibonr(u0,u1,n-2)+fibonr(u0,u1,n-1);
    }:;

On peut aussi compter le nombre de fois que la fonction a èté appelée c’est à dire le nombre de `print` du programme `fibonr` précédent:

    fibona(u0,u1,n):={
    if (n==0) {return [u0,1];}
    if (n==1) {return [u1,1];}
    print(u0,u1,n)
    return fibona(u0,u1,n-2)+fibona(u0,u1,n-1)+[0,1];
    }

On tape : `fibona(1,1,6)`
On obtient : `[13,25]`
On a :
1 appel avec n=6,
1 appel avec n=5,
2 appels avec n=4,
3 appels avec n=3,
5 appels avec n=2,
8 appels avec n=1,
5 appels avec n=0,
On remarque que le nombre d’appels est une suite de Fibonacci et on voit que pour calculer un on doit calculer u2 `fibon(1,1,n-2` fois !

#### Suites récurrentes definies par une fonction de m variables

On suppose maintenant que la suite est définie par une relation de récurrence definie par une fonction f de m variables : pour définir la suite on se donne les m premiers termes :
u0,u1,..,um−1 et la relation :
un=f(un−m,un−m+1,..,un−1) pour n≥ m.
On veut calculer un, et on suppose que les valeurs de u0,u1,..,um−1 sont dans la liste `l0`.
On écrit :

    urec(f,n,l0):={
    local s,k,uk;
    s:=size(l0);
    l0:=op(l0);
    for (k:=s;k<=n;k++) {
        uk:=f(l0);
        l0:=tail(l0),uk;
    }
    return uk;
    }

On utilise `op` au début, pour transformer la liste `l0` en une séquence et `tail(l0)` pour enlever le premier élément et ainsi `l0:=tail(l0),uk` est une séquence qui a toujours `s` éléments.
On peut aussi considérer que le paramètre l contient toutes les variables à savoir l=f,n,u0,..,um−1 . On écrit mais c’est inutilement compliqué (!) :

    urecs(l):={
    local f,n,s,k,uk;
    f:=l[0];
    n:=l[1];
    l:=tail(tail(l));
    s:=size(l);
    //f est une fonction de s variables
    for (k:=s;k<=n;k++) {
        uk:=f(l);
        l:=tail(l),uk;
    }
    return uk;
    }

Pour avoir tous les termes uk de la suite pour k allant de 0 à n, On considère que le paramètre l contient toutes les variables à savoir l=f,n,u0,..,um−1.
On écrit :

    urec_termes(l):={
    local f,n,s,k,uk,lres;
    f:=l[0];
    n:=l[2];
    l:=tail(tail(tail(l)));
    s:=size(l);
    //f est une fonction de s variables
    lres:=l;
    for (k:=s;k<=n;k++) {
        uk:=f(l);
        lres:=lres,uk;
        l:=tail(l),uk;
    }
    return lres;
    }

Par exemple on définit :
`f(x,y):=normal(x+y)`
On tape :
`urec_termes(f,5,1,1)`
On obtient la suite de Fibonacci :
`1,1,2,3,5,8`
On tape :
`urec_termes(f,5,1,(sqrt(5)+1)/2)`
On obtient :
`1,(sqrt(5)+1)/2,(sqrt(5)+3)/2,sqrt(5)+2,
(3*sqrt(5)+7)/2,(5*sqrt(5)+11)/2`
On tape, pour vérifier que l’on a obtenu la suite géométrique de raison `(sqrt(5)+1)/2` :
`seq(normal(((sqrt(5)+1)/2)```^```k),k=0..5)`
On obtient :
`1,(sqrt(5)+1)/2,(sqrt(5)+3)/2,sqrt(5)+2,
(3*sqrt(5)+7)/2,(5*sqrt(5)+11)/2`

Pour avoir tous les termes uk de la suite pour k allant de k0 à n, On considère que le paramètre l contient toutes les variables à savoir l=f,k0,n,u0,..,um−1.
On écrit :

    urec_termekn(l):={
    local f,n,s,k,uk,k0,lres;
    f:=l[0];
    k0:=l[1];
    n:=l[2];
    l:=tail(tail(tail(l)));
    s:=size(l);
    //f est une fonction de s variables
    for (k:=s;k<k0;k++) {
        uk:=f(l);
        l:=tail(l),uk;
    };
    if k0>1 res:=NULL else
      if k0==0 {res:=a,b;k0:=2;} else
        if k0==1 {res:=b;k0:=2};
    for (k:=k0;k<=n;k++) {
        uk:=f(l);
        lres:=lres,uk;
        l:=tail(l),uk;
    }
    return lres;
    }

Par exemple on définit :
`f(x,y):=normal(x+y)`
On tape :
`urec_termekn(f,5,10,1,1)`
On obtient la suite de Fibonacci :
`8,13,21,34,55,89`
On tape :
`urec_termes(f,5,9,1,(sqrt(5)+1)/2)`
On obtient :
`5*sqrt(5)+11)/2,4*sqrt(5)+9,(13*sqrt(5)+29)/2,
(21*sqrt(5)+47)/2,17*sqrt(5)+38`

## 12.2 Les séries

Soit un une suite de réels telle que la série ∑k=0∞uk converge vers S. On veut ici, calculer une valeur appochée de cette somme. Si la série converge rapidement, il suffit de calculer ∑k=0n uk pour n assez grand, sinon il faut procéder à une accélération de convergence, en construisant une série de même somme et convergeant plus rapidement.

### 12.2.1 Les sommes partielles

On écrit :

    sum_serie(f,n0,n):={
    local s,k;
    //un=f(n) ou f est une fonction de 1 variable
    s:=0;
    for (k:=n0;k<=n;k++) {
        s:=s+evalf(f(k));
    }
    return s;
    }

Il est plus précis de faire le calcul de la somme en commençant par les plus petits termes, on écrit :

    serie_sum(f,n0,n):={
    local s,k;
    //un=f(n) ou f est une fonction de 1 variable
    s:=0;
    for (k:=n;k>=n0;k--) {
        s:=s+evalf(f(k));
    }
    return s;
    }

On peut avoir aussi besoin de la suite des sommes partielles : par exemple pour les séries alternées deux sommes partielles successives encadrent la somme de la série.
On écrit en utilisant un paramètre supplémentaire `alt` pour repérer les séries alternées de la forme `u``n``=alt``n``*f(n)` :

    sums_serie(f,n0,n,alt):={
    local ls,s,k;
    //un=(alt)^n*f(n) ou f est une fonction de 1 variable
    s:=0;
    ls:=[];
    if (alt<0){
      if (irem(n0,2)==0) {alt:=-alt;}
      for (k:=n0;k<=n;k++) {
        s:=s+evalf(alt*f(k));
        alt:=-alt;
        ls:=concat(ls,s);
      }
    }
    else {
      for (k:=n0;k<=n;k++) {
        s:=s+evalf(alt*f(k));
        ls:=concat(ls,s);
      }
    }
    return ls;
    }

### 12.2.2 Un exemple simple : une approximation de e

On va calculer la somme :
∑k=0n1/k! en commencant par les plus petits termes :

    vale0(n):={
    local S,k;
    S:=0;
    for (k:=n;k>=0;k--){
    S:=S+1/k!;
    }
    return S;
    }
    :;

On tape :
`SS:=vale0(22)`
`iquo(numer(SS)*10```^```22,denom(SS))`
On obtient :
`27182818284590452353602`
On va calculer la somme :
S=∑k=0n1/k! en calculant k! au fur et à mesure dans f

    vale1(n):={
    local S,f,k;
    f:=1;
    S:=1;
    for (k:=1;k<=n;k++){
    f:=f*k;
    S:=S+1/f;
    }
    return S;
    }
    :;

On tape :
`S:=vale1(22)`
`iquo(numer(S)*10```^```22,denom(S))`
On obtient :
`27182818284590452353602`
On va calculer la somme :
S=∑k=0n1/k! en calculant son numérateur p et son dénominateur f à chaque étape : on a p/(k−1)!+1/k!=(p*k+1)/k! et k!=f*k. Le résultat obtenu en cherchant le quotient de 10n*p par f donnera les n chiffres significatils de e i.e e=vale(n)*10−n lorsque n≥ 22 car 1./23!<4e−23

    vale(n):={
    local p,f,k;
    f:=1;
    p:=1;
    for (k:=1;k<=n;k++){
    f:=f*k;
    p:=p*k+1;
    }
    return iquo(p*10^n,f);
    }
    :;

On tape :
`vale(22)`
On obtient :
`27182818284590452353602`

### 12.2.3 Exemple d’accélération de convergence des séries à termes positifs

On suppose que un=f(n) et que f(n) admet un développement limité à tous les ordres par rapport à 1/n.
On suppose que uk∼ a/kp et on pose :
vk=uk−a/(k+1)(k+2)...(k+p)
On a alors, vk=O(1/kp+1) et on connait :
∑k=0∞a/(k+1)(k+2)...(k+p)
En effet :
a/(k+1)(k+2)...(k+p)=a/p−1(1/(k+1)(k+2)...(k+p−1)−a/(k+2)(k+3)...(k+p)) donc
∑k=0∞a/(k+1)(k+2)...(k+p)=a/p−1(1/1· 2·...· (p−1))=a/(p−1)(p−1)! et,
∑k=k0∞a/(k+1)(k+2)...(k+p)=a/(p−1)(k0+1)(k0+2)..(k0+p−1)
On a :
∑k=0∞uk=a/(p−1)(p−1)!+∑k=0∞vk
On peut ensuite continuer à appliquer la même méthode à vk.
Exercice
Utiliser cette méthode pour calculer numériquement : ∑k=0∞1/(k+1)2.
On va faire "à la main " trois accélérations successives.
On pose :
uk =1/(k+1)2

- 1-ière accélération :
  vk=uk −1/(k+1)(k+2), et donc
  vk=1/(k+1)2(k+2)
  ∑k=0∞uk=1+∑k=0∞vk
- 2-ième accélération :
  wk=vk −1/(k+1)(k+2)(k+3), et donc
  wk=2/(k+1)2(k+2)(k+3)
  ∑k=0∞uk=1+1/2· 2!+∑k=0∞wk
- 3-ième accélération :
  tk=wk −2/(k+1)(k+2)(k+3)(k+4), et donc
  tk=6/(k+1)2(k+2)(k+3)(k+4)
  ∑k=0∞uk=1+2/2· 2!+2/3· 3!+∑k=0∞tk

On tape :
`u(k):=1/(k+1)```^```2`
On tape :
`v(k):=1/((k+1)```^```2*(k+2))`
On tape :
`w(k):=2/((k+1)```^```2*(k+2)*(k+3))`
On tape :
`t(k):=6/((k+1)```^```2*(k+2)(k+3)(k+4))`
On compare π2/6 et les valeurs obtenues pour n=200, car on sait que :
S=∑k=0∞1/(k+1)2=π2/6≃ 1.64493406685
On tape :
`serie_sum(u,0,200)`
On obtient S à 5*10−3 prés (1 décimale exacte) :
`1.63997129788`
On tape :
`1+serie_sum(v,0,200)`
On obtient S à 1.25*10−5 prés (4 décimales exactes) :
`1.64492179293`
On tape :
`1+1/4+serie_sum(w,0,200)`
On obtient S à 8.3*10−8 prés (5 décimales exactes) :
`1.64493398626`
On tape :
`1+1/4+1/9+serie_sum(t,0,200)`
On obtient S à 9.2*10−10 prés (8 décimales exactes) :
`1.64493406596`
Les erreurs
Si on compare la somme ∑k=n+1∞1/(k+1)2 à une intégrale on a :

∞
∑
k=n+1

1
(k+1)2

<

∫

∞
n

1
(x+1)2

dx=

1
n+1

Ou encore, on peut aussi remarquer que :

∞
∑
k=n+1

1
(k+1)2

<

∞
∑
k=n+1

1
k(k+1)

=

1
n+1

puisque 1/k(k+1)=1/k−1/k+1.
Au bout de la p-ième accéleration on calcule la somme de :
uk(p)=p!/(k+1)2(k+2)...(k+p+1) et on a :

∞
∑
k=n+1

1
(k+1)2(k+2)...(k+p+1)

<

∞
∑
k=n+1

1
k(k+1)(k+2)...(k+p+1)

Et puisque :

p+1
k(k+1)(k+2)...(k+p+1)

=

1
k(k+1)(k+2)...(k+p)

−

1
(k+1)(k+2)...(k+p+1)

On a :

∞
∑
k=n+1

un(p)=

∞
∑
k=n+1

p!
(k+1)2(k+2)...(k+p+1)

<

p!
(p+1)(n+1)(n+2)...(n+p+1)

Donc

∞
∑
k=n+1

un(p)<

p!
(p+1)(n+1)p+1

On vérifie (π2/6≃ 1.64493406685) :
1.63997129788<π2/6<1.63997129788+1/201=1.64494642226
1.64492179293<π2/6<1.64492179293+1/(2*2012)=1.64493416886
1.64493398626<π2/6<1.64493398626+2/(3*2013)=1.64493406836
1.64493406596<π2/6<1.64493406596+6/(4*2014)=1.64493406688
Le programme
On peut écrire un programme qui va demander le nombre d’accélérations pour calculer ∑k=0∞1/(k+1)2

    serie_sumacc(n,acc):={
    local p,l,j,k,ls,sf,sg,gk,fact;
    ls:=[];
    //calcul sans acceleration
    sf:=0.0;
    for (k:=n;k>=0;k--) {
       sf:=sf+1/(k+1)^2;
    }
    ls:=[sf];
    sf:=0.0;
    fact:=1;
    for (p:=1;p<=acc;p++){
      //calcul de 1+1/4+..+1/p^2, le terme a rajouter
      sf:=sf+evalf(1/p^2);
      //calcul de p!
      fact:=fact*(p);
      //calcul de sg, somme(de 0 a n) de la serie acceleree p fois
      sg:=0.0;
      for (k:=0;k<=n;k++) {
        gk:=1/(k+1)^2;
        //calcul du k-ieme terme gk de la serie acceleree p fois (sans p!)
        for (j:=1;j<=p;j++) {
          gk:=evalf(gk/(k+j+1));
        }
        sg:=sg+gk;
      }
      ls:=concat(ls,sf+fact*sg);
    }
    return(ls);
    }

## 12.3 Méthodes d’accélération de convergence des séries alternées

### 12.3.1 Un exemple d’accélération de convergence des séries alternées

#### Un premier exemple

On suppose que uk=(−1)kf(k) avec f(k) tend vers zéro quand k tend vers +∞ et f décroissante de ℝ+ dans ℝ+.
On pose :
g(x)=1/2(f(x)−f(x+1)) donc
vk=(−1)kf(k)−f(k+1)/2=uk+uk+1/2=(−1)k g(k)
On a :
∑k=0n vk=1/2(∑k=0n uk+∑k=0n uk+1)
donc,
∑k=0n vk=1/2(∑k=0n uk+∑k=1n+1 uk)
donc,
∑k=0n vk=u0/2+un+1/2+∑k=0n uk
Puisque f(k) tend vers zéro quand k tend vers +∞, g(k)=1/2(f(k)−f(k+1)) tend aussi vers zéro quand k tend vers +∞.
Si la fonction f est convexe (f″(x)>0), la série ∑k=0∞vk vérifie aussi le théorème des séries alternées.
En effet, pour x>0 on a :
g(x)=1/2(f(x)−f(x+1)) ≥ 0 puisque f décroissante sur ℝ+
g′(x)=1/2(f′(x)−f′(x+1)) < 0 puisque f″(x)>0, f′ est négative et croissante sur ℝ+
donc g est décroissante de ℝ+ dans ℝ+ et g(k) tend vers zéro quand k tend vers +∞.
Conclusion : La série ∑k=0∞vk est une série alternée de somme S+u0/2.
Si de plus, f′(x)/f(x) tend vers zéro quand x tend vers l’infini, la série ∑k=0∞vk converge plus rapidement que ∑k=0∞uk, puisque il existe c, x<c<x+1 d’après le th des accroissements finis tel que:
0<g(x)=1/2(f(x)−f(x+1))=−1/2f′(c)
on a donc, puisque f′ est négative et croissante:
0<g(x)<−1/2f′(x)=o(f(x)).

#### Un exercice

Utiliser cette méthode pour calculer numériquement : ∑k=0∞(−1)k/k+1.
Toutes les dérivées de f(x)=1/(x+1) ont un signe constant sur [0;+∞[ et tendent vers zéro à l’infini, ces dérivées sont donc monotones et on peut donc faire plusieurs accélérations successives.
On va faire "à la main " trois accélérations successives.
On pose :
uk =(−1)k/(k+1)

- 1-ière accélération :
  vk=(−1)k(1/2(k+1)−1/2(k+2)), et donc
  vk=(−1)k(1/2(k+1)(k+2))
  ∑k=0∞uk=1/2+∑k=0∞vk
- 2-ième accélération :
  wk= (−1)k(1/4(k+1)(k+2)−1/4(k+2)(k+3)), et donc
  wk= (−1)k(1/2(k+1)(k+2)(k+3))
  et comme v0/2=1/8 on a :
  ∑k=0∞uk=1/2+1/8+∑k=0∞wk
- 3-ième accélération :
  tk=(−1)k(1/4(k+1)(k+2)(k+3)−1/4(k+2)(k+3)(k+4)), et donc
  tk=(−1)k(3/4(k+1)(k+2)(k+3)(k+4))
  et comme w0/2=1/24 on a :
  ∑k=0∞uk=1/2+1/8+1/24+∑k=0∞tk

On tape :
`u(k):=(-1)```^```k/(k+1)`
On tape :
`v(k):=(-1)```^```k/(2*(k+1)*(k+2))`
On tape :
`w(k):=(-1)```^```k/(2*(k+1)*(k+2)*(k+3))`
On tape :
`t(k):=(-1)```^```k*3/(4*(k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4))`
On compare ln(2) et les valeurs obtenues pour n=200, car on sait que :
S=∑k=0∞(−1)k1/(k+1)=ln(2)≃ 0.69314718056
On tape :
`serie_sum(u,0,200)`
On obtient S à 5*10−3 prés (2 décimales exactes) :
`0.69562855486`
On tape :
`1/2+serie_sum(v,0,200)`
On obtient S à 1.23*10−5 prés (4 décimales exactes) :
`0.693153307335`
On tape :
`1/2+1/8+serie_sum(w,0,200)`
On obtient S à 6.1*10−8 prés (8 décimales exactes) :
`0.693147210666`
On tape :
`1/2+1/8+1/24+serie_sum(t,0,200)`
On obtient S à 4.6*10−10 prés (10 décimales exactes) :
`0.693147180781`
Les erreurs
Le reste d’une série alternée est du signe de son premier terme et la valeur absolue du reste est inférieure à la valeur absolue de son premier terme :
|∑k=n+1∞(−1)k1/(k+1)|<1/(n+2)
Au bout de la p-ième accéleration on calcule la somme de :
uk(p)=(−1)kp!/2p(k+1)(k+2)...(k+p+1) et on a :

|

∞
∑
k=n+1

(−1)k p!
2p(k+1)...(k+p+1)

|<

p!
2p(n+2)...(n+p+2)

<

p!
2p(n+2)p+1

On vérifie (ln(2)≃ 0.69314718055995) :
0.69562855486<ln(2)<0.69562855486+1/202=0.70057904991
0.693153307335<ln(2)<0.693153307335+1/(2*2022)=0.693165561036
0.693147210666<ln(2)<0.693147210666+2/(4*2023)=0.693147271328
0.693147180781<ln(2)<0.693147180781+6/(8*2024)=0.693147181231.

#### Le programme

On peut écrire un programme qui va demander le nombre p d’accélérations.
Si uk(p) désigne le k-ième terme de la série accélérée p fois, on a :
∑k=0∞(−1)k/(k+1)=∑k=0pu0(k−1)/2+∑k=0∞uk(p)
avec
uk(p)=(−1)k p!/2p(k+1)...(k+p+1)
On choisit de multiplier seulement à la fin par p!/2p et de ne calculer que la somme des n premiers termes :

n
∑
k=0

(−1)k
(k+1)...(k+p+1)

On met cette somme dans la variable `sg`, pour cela on calcule (−1)k/(k+1)...(k+p+1) que l’on met dans la variable `gk` :
au début `sg=0` et `gk=`1/(p+1)! (c’est la valeur pour k=0)
puis, on ajoute `gk` à la somme `sg`, ensuite on calcule (−1)11!/(p+2)! que l’on met dans `gk` (c’est la valeur pour k=1) etc...
La variable `sf` sert au début à calculer ∑k=0n (−1)k/(k+1) puis,
`sf` sert à calculer la somme à rajouter ∑k=0pu0(k−1)/2 (qui vaut 1/2+1/8+1/24 pour p=3 accélerations).
Dans le programme, on utilise la variable `fact` pour calculer `(p+1)!` et la variable `fact2` pour calculer `p!/2``p`.
On écrit :

    seriealt_sumacc(n,acc):={
    local l,j,k,ls,sf,sg,gk,fact,fact2,alt,t0,p;
    //calcul sans acceleration
    sf:=0.0;
    alt:=1;
    for (k:=n;k>=0;k--) {
    sf:=sf+alt/(k+1);
    alt:=-alt;
    }
    if (alt==1) {
    ls:=[-sf];}
    else {
    ls:=[sf];
    }
    t0:=0.5;
    // sf maintenant est la somme a rajouter
    sf:=0.0;
    fact:=1;fact2:=1;
    for (p:=1;p<=acc;p++){
      sf:=sf+fact2*t0;
      //calcul de p+1! et de p!/2^p
      fact:=fact*(p+1);
      fact2:=fact2*p/2;
    //sg, somme(de k=0 a n) de la serie gk acceleree p fois
      sg:=0.0;
    //terme d'indice 0 (ds gk) de la serie acceleree p fois
    //(sans p!/2^p=fact2)
      gk:=1/fact;
    //on conserve gk/2 dans t0 car il faut rajouter t0
    //au prochain sf
      t0:=gk/2;
      sg:=sg+gk;
      alt:=-1;
      for (k:=1;k<=n;k++) {
         gk:=1/(k+1);
    //terme d'indice k (ds gk) de la serie acceleree p fois
    //(sans p!/2^p=fact2)
         for (j:=1;j<=p;j++) {
           gk:=evalf(gk/(k+j+1));
         }
         sg:=sg+alt*gk;
         alt:=-alt;
      }
    ls:=concat(ls,sf+fact2*sg);
    }
    return(ls);
    }

On met ce programme dans un niveau éditeur de programmes (que l’on ouvre avec `Alt+p`), puis on le teste et le valide avec `OK` et on tape dans une ligne de commandes :
`seriealt_sumacc(200,3)`
On obtient :
`[0.69562855486,0.693153307335,0.693147210666,0.693147180781]` On tape :
`seriealt_sumacc(100,4)`
On obtient :
`[0.698073169409,0.693171208625,0.693147412699,`
`0.693147183892,0.693147180623]`

### 12.3.2 La transformation d’Euler pour les series alternées

#### La transformation d’Euler

On cherche une approximation de :
∑n=0∞(−1)n*u(n)=`sum((-1)```^```n*u(n),n,0,infinity)` lorsque `u(n)` tend vers 0 en décroissant.
On pose : `Delta(u))(n)=u(n+1)-u(n)` et
`delta(u,p,n)=(Delta@@p(u))(n)`
On a :
`delta(u,2,n)=u(n+2)-2*u(n+1)+u(n)`
`delta(u,3,n)=u(n+3)-3*u(n+2)+3*u(n+1)-u(n)`
`delta(u,p,N)=u(n+p)-comb(p,1)*u(n+p-1)+comb(p,2)*u(n+p-2)+`
`....+(-1)```^```p*u(n)`
c’est à dire :
`delta(u,p,n)=sum((-1)```^```(p-j)*comb(p,j)*u(n+j),j,0,p)`
La transformation d’Euler consiste à écrire :
`sum((-1)```^```n*u(n),n,N,infinity)`
sous la forme :
`(-1)```^```N*sum((-1)```^```p*delta(u,p,N)/2```^```(p+1),p,0,infinity)`
Pour prouver cette égalité il suffit de développer la dernière expression et de chercher le coefficient de `u(N+k)` dans la somme :
∑p=0∞,(−1)p*delta(u,p,N)/2p+1
Le coefficient de `u(N+k)` est :
`s(k)=(-1)```^```k*sum(comb(k+p,p)/2```^```(k+p+1),p,0,infinity)`
et cette somme vaut `(-1)```^```k` quelque soit `k` entier.
En effet par récurrence :
pour `k=0`, `comb(k+p,p)=1` et
`sum(1/2```^```(p+1),p,0,infinity)=1/2+1/4+...1/2```^```n+...=1`
On a de plus :
- pour `p=0`, `comb(k+p,p)=comb(k+1+p,p)=1`
- pour `p>0`, `comb(k+p,p)=comb(k+1+p,p)-comb(k+1+p-1,p-1)`
donc
`s(k)=(-1)```^```k*sum(comb(k+1+p,p)/2```^```(k+p+1),p,0,infinity)-`
`(-1)```^```k*sum(comb(k+1+p-1,p-1)/2```^```(k+1+p-1+1),p,1,infinity)=`
`-2*s(k+1)-`
`(-1)```^```k*sum(comb(k+1+p,p)/2```^```(k+1+p+1),p,0,infinity)=`
`-2*s(k+1)+s(k+1)=-s(k+1)`.
donc si `s(k)=(-1)```^```k` alors `s(k+1)=(-1)```^```(k+1)`.
La transformation d’Euler permet une accélération de convergence car la série :
`sum((-1)```^```p*delta(u,p,N)/2```^```(p+1),p,0,infinity)`
converge plus rapidement.

#### Le programme

On définit, tout d’abord, la fonction `delta` :

    delta(u,p,n):={
      local val,k,s;
      val:=0;
      s:=1;
      for (k:=p;k>=0;k--) {
      val:=val+comb(p,k)*u(n+k)*s;
      s:=s*-1;
      }
      return val;
    };

On écrit la transforpmation d’Euler :
`trans_euler(u,N,M)` qui approche
`sum((-1)```^```n*u(n),n,0,infinity)` et vaut :
`sum((-1)```^```n*u(n),n,0,N-1)+`
`(-1)```^```N*sum((-1/2)```^```p*delta(u,p,N)/2,p,0,M)`.

    trans_euler(u,N,M):={
      local S,T,k,s;
      S:=0;
      s:=1;
      for (k:=0;k<N;k++) {
      S:=S+u(k)*s;
      s:=s*-1;
      }
      T:=0;
      s:=s*1/2;
    for (k:=0;k<=M;k++) {
      T:=T+delta(u,k,N)*s;
      s:=s*-1/2;
    };
      return evalf(normal(S+T));
    };

Par exemple pour u(n)=1/(n+1) avec 20 digits, on tape :
`u(n):=1/(n+1);`
`DIGITS:=20;`
`trans_euler(u,10,20);`
On obtient :
`0.693147180559945056511`
`trans_euler(u,9,21);`
On obtient :
`0.693147180559945594072`
On remarque que l’on a 16 decimales exactes car on a :
`evalf(ln(2))=0.693147180559945309415`

### 12.3.3 Autre approximation d’une série alternée

La méthode présentée dans cette section est trés largement inspirée par le texte "Sommation de séries alternées" de l’épreuve de modélisation de l’agrégation de mathématiques (session 2006).

#### Le problème

On veut évaluer la somme S de la série alternée : S=∑n=0∞(−1)nan
avec (an)n≥ 0 est une suite de nombres positifs qui tend vers 0 en décroissant.
On suppose que l’on a pour n≥ 0 :
a−n=∫01xndµ
où µ est une mesure positive sur [0,1].
C’est en particulier le cas si an=A(n) avec A fonction indefiniment dérivable pour laquelle les kième dérivées A(k) sont telles que (−1)k*A(k)(x) soit positif pour x≥ 0 pour tout k≥ 0.

#### Le théorème

Théorème :
Soit Pn une suite de polynômes de degré n vérifiant Pn(−1)≠ 0.
À Pn, on associe les coefficients cn,k pour 0 ≤ k<n définis par :
Pn(−1)−Pn(x)/1+x=∑k=0n−1cn,kxk
et le coefficient dn défini par :
dn=Pn(−1)
Soient S=∑k=0∞(−1)kak et Sn=1/dn∑k=0n−1cn,kak
Alors :
|S−Sn|≥ supx ∈ [0,1] |Pn(x)|/|dn|S
On a, en effet, avec l’hypothèse faite sur les ak :
S=∫01 1/1+xdµ et
S−Sn=∫01Pn(x)/dn(1+x)dµ

#### Le choix des polynômes Pn

Pour calculer S il reste à choisir la suite des polynômes Pn.
On peut choisir :

- Pn(x)=(1−x)n
  on aura une convergence en 2−n car dn=2n et supx ∈ [0,1] |Pn(x)|=1.
  On a :
  P0(x)=1
  P1(x)=1−x
  Pn+1(x)=Pn(x)*(1−x) si n≥ 0
  dn=2n
  et la formule explicite de Pn :
  Pn(x)=∑k=0n(−1)k Cnkxk=∑k=0n pn,k xk si n≥ 0
  donc les coefficients pn,k vérifient :
  pn,0=1
  pn,k=pn,k−1*(k−1−n)/k pour 1 ≤ k<n
  On a :
  dn−Pn(x)=(1+x)∑k=0n−1cn,kxk=cn,0∑k=1n(cn,k−1+cn,k)xk
  donc
  cn,0=dn−pn,0=dn−1
  cn,k=−cn,k−1−pn,k pour 1 ≤ k<n
- Pn(x)=xq(1−x)2q et n=3*q
  on aura une convergence en 3−n car
  |dn|=22q et
  supx ∈ [0,1] |Pn(x|)=Pn(1/3)=22q*3−n.
  On a :
  P0(x)=1
  P3(x)=x(1−x)2
  Pn+3(x)=Pn(x)*x*(1−x)2 si n≥ 0
  dn=(−1)q*22q
  et la formule explicite de Pn :
  Pn(x)=∑k=02q(−1)k C2qkxk+q=∑k=qn(−1)k−q C2qk−qxk=
  ∑k=0n pn,k xk si n≥ 0
  donc les coefficients pn,k vérifient :
  pn,k=0 si k<q
  pn,q=1
  et comme Cnp=Cnp−1*(n−p+1)/p
  pn,k=(−1)k−q C2qk−q si q ≤ k ≤ n
  pn,k=−pn,k−1*(k−1−n)/(k−q) si q < k ≤ n
  On a :
  dn−Pn(x)=(1+x)∑k=0n−1cn,kxk=cn,0+∑k=1n(cn,k−1+cn,k)xk
  donc
  cn,0=dn−pn,0=dn−1
  cn,k=−cn,k−1−pn,k pour 1 ≤ k<n
- Si le ploynôme Pn défini Pn(sin(t)2)=cos(2nt)
  Pn est défini à partir du ploynôme Tn de Chebyshev (Tn(cos(t))=cos(nt)) :
  Pn(sin(t)2)=cos(2nt)Tn(cos(2t))
  on a donc puisque 1−2sin(t)2=cos(2t) :
  Tn(1−2sin(t)2)=cos(2nt) et
  Pn(x)=Tn(1−2x)
  on aura une convergence meilleure que dans les cas précédents car la convergence est en :
  2/((3+√8)n+(3−√8)n)≃ 2/((3+√8)n)≃ 2/(5.8)n
  car
  dn=((3+√8)n+(3−√8)n)/2 et supx ∈ [0,1] |Pn(x)|=1.
  Donc :
  P0(x)=1
  P1(x)=1−2x
  Pn+2(x)=2(1−2x)Pn+1(x)−Pn(x) si n≥ 0
  dn=((3+√8)n+(3−√8)n)/2
  et la formule explicite de Pn :
  Pn(x)=∑k=0n (−1)k n/n+kCn+k2k22kxk=
  ∑k=0n pn,k xk si n≥ 0
  donc les coefficients pn,k vérifient :
  pn,0=1 pn,k= pk−1,n(k−1+n)(k−1−n)/((k−1/2)(k)) pour 1 ≤ k<n On a :
  dn−Pn(x)=(1+x)∑k=0n−1cn,kxk=cn,0∑k=1n(cn,k−1+cn,k)xk donc
  cn,0=dn−p0,n cn,k=−cn,k−1−pn,k pour 1 ≤ k<n

#### Les formules de récurrences et le programme pour le polynôme Chebyshev

- Les formules de récurrences
  On va calculer les coefficients cn,k de proche en proche pour n fixé.
  On pose :
  `p:=1;`
  `d:=((3+sqrt(8))```^```n+(3-sqrt(8))```^```n)/2;`
  `c:=d-p;`
  Le premier terme de Sn :
  `S:=a(0)*c;`
  puis, pour `k:= 1` jusque `k:= n-1` on calcule pn,k et cn,k :
  `p:=p*(k+n-1)*(k-n-1)/(k-1/2)/k;`
  `c:=-p-c;`
  On ajoute le kième terme de Sn :
  `S:=S+a(k)*c;`
- Le programme

      //n=nombres de termes et a fonction definissant a(n)
      //S_n(P_n) =seriealt(n,a)
      //S_n(P_n) approche sum((-1)^k*a(k),k,0,+infinity)
      //avec P_n=poly de chebyshev
      seriealt1(n,a):={
      local k,d,c,p,S;
      d:=((3+sqrt(8))^n+(3-sqrt(8))^n)/2;
      p:=1;
      c:=d-p;
      S:=a(0)*c;
      for (k:=1;k<n;k++) {
      p:=p*(k+n-1)*(k-n-1)/(k-1/2)/k;
      c:=-p-c;
      S:=S+a(k)*c;
      }
      return evalf(S/d);
      };

#### Les formules et le programme pour le polynôme Pn(x)=(1−x)n

- Les formules de récurrences
  On va calculer les coefficients cn,k de proche en proche pour n fixé.
  On pose :
  `p:=1;`
  `d:=2```^```n;`
  `c:=d-p;`
  Le premier terme de Sn :
  `S:=a(0)*c;`
  puis, pour `k:= 1` jusque `k:= n-1` on calcule pn,k et cn,k :
  `p:=p*(k-n-1)/k;`
  `c:=-p-c;`
  On ajoute le kième terme de Sn :
  `S:=S+a(k)*c;`
- Le programme

      //n=nombres de termes et a fonction definissant a(n)
      //S_n(P_n) =seriealt(n,a)
      //S_n(P_n) approche sum((-1)^k*a(k),k,0,+infinity)
      //avec P_n(x)=poly (1-x)^n
      seriealt2(n,a):={
      local k,d,c,p,S;
      d:=2^n;
      p:=1;
      c:=d-p;
      S:=a(0)*c;
      for (k:=1;k<n;k++) {
      p:=p*(k-n-1)/k;
      c:=-p-c;
      S:=S+a(k)*c;
      }
      return evalf(S/d);
      };

#### Les formules et le programme pour le polynôme P3q(x)=xq(1−x)2q

- Les formules de récurrences
  On va calculer les coefficients cn,k de proche en proche pour n fixé.
  On pose :
  `p:=0;` si 0 ≤ k<q
  `p:=1;` si k=q
  `d:=(-1)```^```q*2```^```2q``;`
  `c:=d-p;`
  Le premier terme de Sn :
  `S:=a(0)*c;`
  pour `k:=1` jusque `k:=q-1` on a pn,k=0 et on calcule cn,k (`c:=-p-c;`) et on ajoute le kième terme de Sn :
  `S:=S+a(k)*c;`
  puis, pour `k:=q` on a pn,q=1 et on calcule cn,q (`c:=-p-c;`) et on ajoute le qième terme de Sn :
  `S:=S+a(q)*c;`
  puis, pour `k:=q+1` jusque `k:= n-1` on calcule pn,k et cn,k :
  `p:=p*(k-n-1)/k;`
  `c:=-p-c;`
  On ajoute le kième terme de Sn :
  `S:=S+a(k)*c;`
- Le programme

      //n=nombres de termes et a fonction definissant a(n)
      //S_n(P_n) =seriealt(n,a)
      //S_n(P_n) approche sum((-1)^k*a(k),k,0,+infinity)
      //avec P_n=poly de chebyshev
      seriealt3(n,a):={
      local k,d,c,p,q,S;
      q:=ceil(n/3);
      n:=3*q;
      d:=(-1)^q*2^(2*q);
      p:=0;
      c:=d-p;
      S:=a(0)*c;
      for (k:=1;k<q;k++) {
      c:=-p-c;
      S:=S+a(k)*c;
      }
      p:=1;
      c:=-c-p;
      S:=S+a(q)*c;
      for (k:=q+1;k<n;k++) {
      p:=p*(k-n-1)/(k-q);
      c:=-p-c;
      S:=S+a(k)*c;
      }
      return evalf(S/d);
      };

#### Les essais

On choisit `n=20`.
On tape :
`evalf(2/(3+sqrt(8))```^```20,2```^```-20,3```^```-21)=`
`9.77243031253e-16,9.53674316406e-07,9.55990663597e-11`
On a donc pour n=20 une approximation en 10−15 pour Chebyshev, en 10−6 pour (1−x)20 et en 10−10 pour x7(1−x)14 :
On choisit dans la suite `Digits:=20`
Pour calculer une approximation de π/4.
On a :
`sum((-1)```^```n/(2*n+1),n,0,+infinity)=pi/4`
On tape :
`b(n):=1/(2*n+1)`
`seriealt1(20,b);evalf(pi/4)`
On obtient :
`0.785398163397448309926, 0.785398163397448309615`
On tape :
`seriealt2(20,b);seriealt3(20,b);`
On obtient :
`0.785397981918786731599, 0.785398163413201025973`
Pour calculer une approximation de ln(2).
On a :
`sum((-1)```^```n/(n+1),n,0,+infinity)=ln(2)`
On tape :
`a(n):=1/(n+1)`
`seriealt1(30,a);evalf(ln(2))`
On obtient :
`0.693147180559945311245, 0.693147180559945309415`
On tape :
`seriealt2(20,a);seriealt3(20,a);`
On obtient :
`0.693147137051028936275, 0.693147180577738915258`

### 12.3.4 Transformation d’une série en série alternée

On a l’identité formelle :
∑n ≥ 1an=∑m ≥ 1(−1)m−1bm avec
bm=∑k ≥ 0 2k a2km.
En effet, si n0 est un entier il existe un entier p0 et un entier impair m0 uniques vérifiant n0=2p0*m0 . Dans la somme ∑m ≥ 1(−1)m−1∑k ≥ 0 2k a2km on cherche le coefficient de an0, on a soit :
k=0 et m=n0=m0*2p0, soit
k=1 et m=m0*2p0−1, soit
................ soit
k=p0 et m=m0.
On remarquera que toutes les valeurs, sauf la dernière, de m sont paires, donc les différentes valeurs de (1)m−1 sont (-1) sauf la dernière qui vaut +1.
∑m ≥ 1∑k ≥ 0 (−1)m−12k a2km=
∑n0 ≥ 1an0*(∑k=0p0−1(−1)*2k+2p0)=
∑n ≥ 1an puisque 2p0−∑k=0p0−12k=1

#### Application au calcul de ∑n=0∞1/ns

Prenons comme exemple la série de terme général an=1/ns avec s>1.
pour `s=2`
si `a(n)=1/n```^```2`
on a :
`2```^```k*a(2```^```k*m)=1/(2```^```k*m```^```2)`
`b(m)=1/m```^```2*sum(1/2```^```k,k,0,+infinity)=2/m```^```2`
pour `s` quelconque
si `a(n)=1/n```^```s`
On a `2```^```k*a(2```^```k*m)=1/(2```^```(k*(s-1))*m```^```s)`
`b(m)=1/m```^```s*sum((1/2```^```(s-1))```^```k,k,0,+infinity)`
Donc :
`b(m)=2```^```(s-1)/((2```^```(s-1)-1)*m```^```s)`
pour s=2
`b(m):=2/(m```^```2)`
pour s=4
`b(m):=8/(7*m```^```4)`
On a :
`sum((-1)```^```(m-1)*b(m),1,+infinity)=`
`sum((-1)```^```(m)*b(m+1),0,+infinity)`
On choisit encore `Digits:=20`
pour s=2, ∑n=1∞1/n2=π2/6
On tape :
`t2(m):=2/(m+1)```^```2`
`seriealt1(20,t2),evalf(pi```^```2/6)`
On obtient :
`1.64493406684822645248, 1.64493406684822643645`
On tape :
`seriealt2(20,t2);seriealt3(20,t2);`
On obtient :
`1.64493374613777534516, 1.64493406688805599300`
pour s=4, ∑n=1∞1/n4=π4/90
On tape :
`t4(m):=8/(7*(m+1)```^```4)`
`seriealt1(20,t4);evalf(pi```^```4/90)`
On obtient :
`1.08232323371113822384, 1.08232323371113819149`
On tape :
`seriealt2(20,t4);seriealt3(20,t4);`
On obtient :
`1.08232265198912440013, 1.08232323371697925335`

#### Application au calcul de la constante d’Euler

Pour calculer une approximation de la constante d’Euler, (voir aussi 14.2.3 et 12.4.2).
γ=`-psi(1)`.
On a :
`-psi(1)=sum((-1)```^```n*ln(n)/n,n,1,+infinity)/ln(2)+ln(2)/2`
et
`sum((-1)```^```n*ln(n)/n,n,1,+infinity)=`
`-sum((-1)```^```n*ln(n+1)/(n+1),n,0,+infinity)`
`c(n):=log(n+1)/(n+1)`
`-seriealt1(20,c)/ln(2)+ln(2)/2;-evalf(psi(1),0)`
On obtient :
`0.577215664901532859864, 0.57721566490153`
On tape :
`-seriealt2(20,c)/ln(2)+ln(2)/2,-seriealt3(20,c)/ln(2)+ln(2)/2`
On obtient :
`0.577215550220266823551, 0.577215664918305723256` On tape : `Digits:=24;`
`evalf(euler_gamma)`
On obtient : `0.5772156649015328606065119`

## 12.4 Développements asymptotiques et séries divergentes

Un développement asymptotique est une généralisation d’un développement de Taylor, par exemple lorsque le point de développement est en l’infini. De nombreuses fonctions ayant une limite en l’infini admettent un développement asymptotique en l’infini, mais ces développements sont souvent des séries qui semblent commencer par converger mais sont divergentes. Ce type de développement s’avère néanmoins très utile lorsqu’on n’a pas besoin d’une trop grande précision sur la valeur de la fonction.

### 12.4.1 Un exemple:la fonction exponentielle intégrale

Nous allons illustrer ce type de développement sur un exemple, la fonction exponentielle intégrale, définie à une constante près par

f(x)=

∫

+∞
x

e−t
t

dt

On peut montrer que l’intégrale existe bien, car l’intégrand est positif et inférieur à e−t (qui admet −e−t comme primitive, cette primitive ayant une limite en +∞).
Pour trouver le développement asymptotique de f en +∞, on effectue des intégrations par parties répétées, en intégrant l’exponentielle et en dérivant la fraction rationnelle :

f(x)

=

[

−e−t
t

]x+∞ −

∫

+∞
x

−e−t
−t2

dt

=

e−x
x

−

∫

+∞
x

e−t
t2

dt

=

e−x
x

− ([

−e−t
t2

]x+∞ −

∫

+∞
x

−2e−t
−t3

)

=

e−x
x

−

e−x
x2

+

∫

+∞
x

2e−t
t3

dt

| = | ...

=

e−x

⎛
⎜
⎜
⎝

1
x

−

1
x2

+

2
x3

+ ... +

(−1)n n!
xn+1

⎞
⎟
⎟
⎠

−

∫

+∞
x

(−1)n n!e−t
tn+1

dt

| = | S(x) + R(x)

où

S(x)=e−x

⎛
⎜
⎜
⎝

1
x

−

1
x2

+

2
x3

+ ... +

(−1)n n!
xn+1

⎞
⎟
⎟
⎠

, R(x)=−

∫

+∞
x

(−1)n n!e−t
tn+1

dt (1)

Le développement en séries est divergent puisque pour x>0 fixé et n tendant vers l’infini

lim
n→ +∞

n!
xn+1

= +∞

mais si x est grand, au début la série semble converger, de manière très rapide :

1
x

>>

1
x2

>>

2
x3

On peut utiliser S(x) comme valeur approchée de f(x) pour x grand si on sait majorer R(x) par un nombre suffisamment petit. On a

| R(x) | ≤

∫

+∞
x

n!e−t
xn+1

=

n!e−x
xn+1

On retrouve une majoration du type de celle des séries alternées, l’erreur est inférieure à la valeur absolue du dernier terme sommé. Pour x fixé assez grand, il faut donc de trouver un rang n, s’il en existe un, tel que n!/xn<є où є est la précision relative que l’on s’est fixée. Par exemple, si x≥ 100, n=12 convient pour є=12!/10012=5e−16 (à peu près la précision relative d’un “double”).

### 12.4.2 Le calcul approché de la constante d’Euler γ

Pour d’autres méthodes concernant le calcul approché de la constante d’Euler voir aussi 12.3.4 et 14.2.3.
On peut montrer que

lim
n→ +∞

un, un=

n
∑
k=1

1
k

− ln(n) (2)

existe (par exemple en cherchant un équivalent de un+1−un qui vaut −1/2n2) et on définit γ comme sa limite. Malheureusement, la convergence est très lente et cette définition n’est pas applicable pour obtenir la valeur de γ avec une très grande précision. Il y a un lien entre γ et la fonction exponentielle intégrale (définie par f(x)=∫x+∞ e−t/t dt) , plus précisément lorsque x→ 0, f(x) admet −ln(x) comme singularité, plus précisément f(x)+ln(x) admet un développement en séries (de rayon de convergence +∞), car :

f(x)+ln(x)

=

∫

1
x

e−t−1
t

dt +

∫

+∞
1

e−t
t

dt

=

∫

1
0

e−t−1
t

dt +

∫

+∞
1

e−t
t

dt −

∫

x
0

e−t−1
t

dt

Que vaut la constante du membre de droite :

C=

∫

1
0

(e−t−1)

1
t

dt +

∫

+∞
1

e−t

1
t

dt

Il se trouve que C=−γ (voir plus bas une démonstration condensée) et donc :

γ=

∫

x
0

1−e−t
t

dt −f(x)−ln(x) (3)

Pour obtenir une valeur approchée de γ, il suffit donc de prendre un x assez grand pour pouvoir calculer f(x) par son développement asymptotique à la précision requise (f(x)S(x)+R(x) avec S(x)=e−x(1/x−1/x2 + 2/x3+...+(−1)n n!/xn+1) et R(x)=− ∫x+∞ (−1)n n!e−t/tn+1 dt et |R(x)|≤ n!e−x/xn+1), puis de calculer l’intégrale du membre de droite par le développement en séries en x=0 (en utilisant une précision intermédiaire plus grande puisque ce développement en séries va sembler diverger au début avant de converger pour n suffisamment grand).
Exemple1 : on pose x=13.
On calcule f(13) par (1) avec n=13 et une erreur absolue inférieure à e−13 13!/1314≤ 3.6e−12.
On a en effet pour x=x0 si vn=e−x0n!/x0n+1 :
vn/vn−1≤ 1 équivalent à n/x0≤ 1équivalent à n≤ x0.
Donc si x=x0=13 on calcule f(13) avec :
f(13)≃ ∑n=013 e−13(−1)n n!/xn+1 Ou bien, on tape :
`Digits:=2`; puis
`exp(-13)*n!/13.```^```(n+1))$(n=0..20)` renvoie :
`1.7e-07,1.3e-08,2.1e-09,4.7e-10,1.5e-10,5.6e-11,2.6e-11,`
`1.4e-11,8.6e-12,5.9e-12,4.6e-12,3.9e-12,3.6e-12, 3.6e-12,`
`3.8e-12,4.4e-12,5.5e-12,7.1e-12,9.9e-12,1.4e-11,2.2e-11`
donc

f(13) ≈ `exp(-13)*sum((-1)^n*n!/13.^(n+1),n=0..13)`

puis on remplace dans (3), avec

∫

x
0

1−e−t
t

dt =

∞
∑
n=0

(−1)n

xn+1
(n+1) (n+1)!

dont on obtient une valeur approchée, en faisant la somme jusqu’au rang 49, le reste de cette somme R50 est positif et est inférieur à `13.```^```51/51/51!)` qui est de l’ordre de `8.2e-12`. On a en effet si vn=13n+1/(n+1)(n+1)! :
|RN|=∑n=N+1∞vn<vn+1=13N+2/(N+2)(N+2)! et |R49|<8.2e−12.

`evalf(sum((-1)^n*13^(n+1)/(n+1)/(n+1)!,n=0..49))`

La somme argument de `evalf` étant exacte, il n’y a pas de problèmes de perte de précision.
On obtient finalement comme valeur approchée de γ

`-exp(-13)*sum((-1)^n*n!/13.^(n+1),n=0..13)-ln(13.)+`
`evalf( sum((-1)^n*13^(n+1)/(n+1)/(n+1)!,n=0..49))`

On choisit alors 12 chiffres significatif et on tape :
`Digits:=12;` `f13:=exp(-13.)*evalf(sum((-1)```^```n*n!/13```^```(n+1),n=0..13))` `I13:=evalf(sum((-1)```^```*13```^```(n+1)/(n+1)/(n+1)!,n=0..49))`
La constante d’Euler vaut donc à 1.2e-11 près :
`-f13-ln(13.)+I13`
On obtient :
`0.577215664897`
On tape :
`evalf(euler_gamma)`
On obtient :
`0.5772156649018`
soit `0.57721566489` avec une erreur inférieure à `1.2e-11`.
Exemple2 : on pose x=40.
On tape :
`r40:=(exp(-40.)*40!/40.```^```41)` on obtient `r40` inférieur à 7.2e-36
On choisit alors 36 chiffres significatif et on tape :
`Digits:=36;`
`f40:=exp(-40.)*evalf(sum((-1)```^```n*n!/40```^```(n+1),n=0..40))`
puisque :
`40.```^```168/168./168!` est inférieur à 3.3e-36, on tape :
`I40:=evalf(sum((-1)```^```n*40```^```(n+1)/(n+1)/(n+1)!,n=0..166))`
La constante d’Euler vaut donc à (7.2+3.3)e-36 près:
`-f40-ln(40.)+I40`
On obtient avec une erreur inférieure à `1.1e-35`:
`0.5772156649015328606065120900824024285`
On tape :
`evalf(euler_gamma)`
On obtient :
`0.5772156649015328606065120900824024308`
Remarques La somme argument de `evalf` étant exacte, il n’y a pas de problèmes de perte de précision, on peut aussi faire les calculs intermédiaires en arithmétique approchée, lorsque x=13 on doit alors prendre 4 chiffres significatifs de plus (pour tenir compte de la valeur du plus grand terme sommé dans la série vn=13n+1/(n+1)(n+1)! qui est v10=`13^11/11/11!\simeq 4.08e+03`).
On a en effet :
vn/vn−1=13*n/(n+1)2>1 si n2+11n+1>0 i.e. n≤ 10 et
vn/vn−1=13*n/(n+1)2<1 si n≥ 11
On tape avec des calculs intermédiaires en arithmétique approchée :

`Digits:=16; sum((-1)^n*13.^(n+1)/(n+1)/(n+1)!,n=0..49)`

On obtient dans ce cas comme valeur approchée de γ : `0.57721566489675213`
Bien entendu, cette méthode avec des calculs intermédiaires en arithmétique approchée est surtout intéressante si on veut calculer un grand nombre de décimales de la constante d’Euler c’est à dire quand on prend `x=x0` tres grand, sinon on peut par exemple appliquer la méthode d’accélération de Richardson (cf 14.2.3) à la suite convergente (2) qui définit γ.
On peut calculer π de la même manière avec le développement en séries et asymptotique de la fonction sinus intégral (on remplace exponentielle par sinus dans la définition de f, voir plus bas une démonstration condensée) et l’égalité

∫

+∞
0

sin(t)
t

dt =

π
2

(4)

Calcul de C (et preuve de ( 4 )) :
Pour cela on effectue une intégration par parties, cette fois en intégrant 1/t et en dérivant l’exponentielle (moins 1 dans la première intégrale).

C

=

∫

1
0

(e−t−1)

1
t

dt +

∫

+∞
1

e−t

1
t

dt

=

[(e−t−1)ln(t)]01 +

∫

1
0

ln(t) e−t dt + [e−t ln(t)]1+∞ +

∫

+∞
1

ln(t) e−t dt

=

∫

+∞
0

ln(t) e−t dt

Pour calculer cette intégrale, on utilise l’égalité (qui se démontre par récurrence en faisant une intégration par parties) :

n!=

∫

+∞
0

tn e−t dt

On va à nouveau intégrer par parties, on intègre un facteur 1 et on dérive l’intégrand, on simplifie, puis on intègre t et on dérive l’autre terme, puis t2/2, etc.

C

=

[te−t ln(t)]0+∞ −

∫

+∞
0

t e−t(

1
t

−ln(t)) dt

=

0 −

∫

+∞
0

e−t dt +

∫

+∞
0

t e−t ln(t) dt

=

−1 + [

t2
2

e−t ln(t)]0+∞ −

∫

+∞
0

t2
2

e−t(

1
t

−ln(t)) dt

=

−1 −

∫

+∞
0

t
2

e−t +

∫

+∞
0

t2
2

e−t ln(t) dt

=

−1 −

1
2

+

∫

+∞
0

t2
2

e−t ln(t) dt

| = | ...

=

−1 −

1
2

− ... −

1
n

+

∫

+∞
0

tn
n!

e−t ln(t) dt

=

−1 −

1
2

− ... −

1
n

+ ln(n) + In

où

In=

∫

+∞
0

tn
n!

e−t (ln(t)−ln(n)) dt

Pour déterminer In on fait le changement de variables t=nu

In

=

∫

+∞
0

(nu)n
n!

e−nu ln(u) n du

=

nn+1
n!

∫

+∞
0

en(ln(u)−u) ln(u) du

Or en faisant le même changement de variables t=nu :

n!=

∫

+∞
0

tn e−t dt = nn+1

∫

+∞
0

en(ln(u)−u) du

Donc

In=

∫

+∞
0

en(ln(u)−u) ln(u) du

∫

+∞
0

en(ln(u)−u) du

Lorsque n tend vers l’infini, on peut montrer que In → 0, en effet les intégrales sont équivalentes à leur valeur sur un petit intervalle autour de u=1, point où l’argument de l’exponentielle est maximal, et comme l’intégrand du numérateur a une amplitude ln(u) qui s’annule en u=1, il devient négligeable devant le dénominateur. Finalement on a bien C=−γ.
On peut remarquer qu’en faisant le même calcul que C mais en remplacant e−t par e−α t pour ℜ(α)>0, donne limIn=−ln(α) (car le point critique où la dérivée de la phase s’annule est alors 1/α). Ceci peut aussi se vérifier pour α réel en faisant le changement de variables α t=u

∫

1
0

(e−α t−1)

1
t

dt +

∫

+∞
1

e−α t

1
t

dt = −γ −ln(α)

En faisant tendre α vers −i, −ln(α) tend vers ln(i)=iπ/2 et on obtient

∫

1
0

(eit−1)

1
t

dt +

∫

+∞
1

ei t

1
t

dt = −γ + i

π
2

dont la partie imaginaire nous donne (4), et la partie réelle une autre identité sur γ faisant intervenir la fonction cosinus intégral.

## 12.5 Solution de f(x)=0 par la méthode de Newton

Dans `Xcas`, il existe déjà une fonction qui calcule la valeur approchée r d’une solution de f(x)=0 par la méthode de Newton, qui est : `newton`.

### 12.5.1 La méthode de Newton

Soit f deux fois dérivable ayant un zéro et un seul r dans l’intervalle [a ; b]. Supposons de plus que f′ et f″ ont un signe constant sur [a ; b]. La méthode de Newton consiste à approcher r par l’abscisse x1 du point commun à Ox et à la tangente en un point M0 du graphe de f. Si M0 a pour coordonées (x0,f(x0)) (x0 ∈ [a ; b]), la tangente en M0 a pour équation :
y=f(x0)+f′(x0)*(x−x0) et donc on a :

x1=x0−

f(x0)
f′(x0)

On peut alors réitérer le processus, et on obtient une suite xn qui converge vers r soit par valeurs supérieures, si f′*f″>0 sur [a ; b] (i.e. si f′(r)>0 et si f est convexe (f″>0 sur [a ; b]) ou si f′(r)<0 et si f est concave (f″<0 sur [a ; b])) soit par valeurs inférieures, si f′*f″<0 sur [a ; b] (i.e. si f′(r)<0 et si f est convexe (f″>0 sur [a ; b]) ou si f′(r)>0 et si f est concave (f″<0 sur [a ; b])).
On fait le dessin en tapant :

    f(x):=x*x-2;
    x0:=5/2;
    G:=plotfunc(f(x));
    T0:=tangent(G,x0);
    Ox:=droite(0,1);
    M1:=inter(T0,Ox)[0];
    x1:=affixe(M1)
    segment(point(x1,0),point(x1,f(x1)));
    T1:=tangent(G,x1);
    M2:=inter(T1,droite(0,1))[0]
    x2:=affixe(M2):
    segment(point(x2,0),point(x2,f(x2)));

ou encore pour faire le dessin de la méthode de Newton pour la fonction f en partant du point de coordonnèes (a,f(a)) et obtenir p nouveaux points.

    plotnewton(f,a,p):={
    local L,P,m,j,b;
    L:=plotfunc(f(x),x,affichage=vert);
    L:=L,point(a,couleur=point_width_4+rouge);
    for (j:=1;j<=p;j++) {
    b:=f(a);
    L:=L,segment(a,a+i*b,couleur=ligne_tiret+rouge);
    m:=function_diff(f)(a);
    L:=L,plotfunc(b+(x-a)*m,x);
    if (m==0){return "pente nulle"}
    a:=a-f(a)/m;
    P:=point(a,couleur=point_width_4+rouge);
    L:=L,P;
    }
    return affixe(P),L;
    };

On tape : `plotnewton(sq-2,4,2)`
pour obtenir les termes x0,x1,x2 de la suite de Newton qui converge vers √2 et où x0=4 :
On remarquera que : `plotnewton(sq-2,4,2)[0]` renvoie :
`113/72` `≃``1.56944444444`
On tape : `plotnewton(ln-1,5,2)`
pour obtenir les termes x0,x1,x2 de la suite de Newton qui converge vers e et où x0=5 :
On peut aussi faire une animation, pour cela, on tape :

    newtonsuite(f,a,p):={
    local L,P,m,j,b,LT;
    P:=point(a,couleur=point_width_4+rouge);
    LT:=P;
    f1:=function_diff(f);
    for (j:=1;j<=p;j++) {
    b:=f(a);
    L:=L,segment(a,a+i*b,couleur=ligne_tiret+rouge);
    m:=f1(a);
    L:=L,plotfunc(b+(x-a)*m,x);
    if (m==0){return "pente nulle"}
    a:=a-f(a)/m;
    P:=point(a,couleur=point_width_4+rouge);
    LT:=LT,[LT,L,P];
    }
    print(affixe(P));
    return LT;
    };
    animnewton(f,a,p):={
    local LT;
    LT:=newtonsuite(f,a,p);
    return plotfunc(f(x),x,affichage=vert),animation(LT);
    };

On tape : `animnewton(sq-2,4,3)`
Puis, on écrit la fonction `newton_rac` qui renvoie la valeur approchée à eps près de la racine de f(x)=0 on commençant l’itération avec x0.
On remarquera que le paramètre f est une fonction et donc, que sa dérivée est la fonction `g:=function_diff(f)`.
On cherche une valeur approchée donc il faut écrire :
`x0:=evalf(x0-f(x0)/g(x0))`
car si on ne met pas `evalf`, les calculs de l’itération se feront excactement et seront vite compliqués.

    newton_rac(f,x0,eps):={
    local x1,h,g;
    g:=function\_diff(f)
    x0:=evalf(x0-f(x0)/g(x0));
    x1:=x0-f(x0)/g(x0);
    if (x1>x0) {h:=eps;} else {h:=-eps;}
    while (f(x1)*f(x1+h)>0){
       x1:=x1-f(x1)/g(x1);
    }
    return x1;
    }

### 12.5.2 Exercices sur la méthode de Newton

1. L’énoncé
   1. Étudier rapidement les variations de f(x)=xexp(x)+0.2 pour montrer que l’équation f(x)=0 a deux solutions a et b qui vérifient a<−1<b<0
   2. Calculer à l’aide d’un programme par la méthode de Newton, les valeurs approchées de a et de b obtenues après 5 itérations.
   3. Modifier votre programme pour avoir des valeurs de a et b avec une précision de eps (par exemple de 1e−6).
   4. Écrire un programme qui dessine le graphe de la fonction implicite xexp(x)+yexp(y)=0 lorsque x≥−5.

   La solution avec `Xcas`

   1. Pour avoir les variations de f(x)=xexp(x)+0.2 on peut calculer la dérivée et faire le graphe de f.
      On tape : `f(x):=x*exp(x)+0.2`
      `factor(diff(f(x)))`
      On obtient : `(x+1)*exp(x)`
      On tape : `G:=plotfunc(f(x),x=-3..1)`
      On obtient :

      Pour montrer que l’équation f(x)=0 a deux solutions a et b qui vérifient a<−1<b<0, on calcule, d’après le graphe f(−3),f(−2),f(−1),f(0).
      On tape : `f(x)$(x=-3..0)`
      On obtient :
      `0.0506387948964,-0.0706705664732,-0.167879441171,0.2`
      donc puisque f est continue, d’après le théorème des valeurs intermédiaires on a : −3<a<−2 et −1<b<0

   2. La méthode de Newton consiste à itérer la fonction h définie par h(x)=x−f(x)/g(x) où g est la derivée de f. Pour trouver a, on va commencer en x0=−2 (car la fonction est concave et décroissante sur [−3;−2] et les xn seront des valeurs approchées de a par excés) et pour trouver b, on va commencer en x0=0 (car la fonction est convexe et croissante sur [−1;0] et les xn seront des valeurs approchées de b par excés). On tape :

          Newtonvaleur(x0):={
            local j,f,g,h;
            f(x):=x*exp(x)+0.2;
            g(x):=(x+1)*exp(x);
            h(x):=x-f(x)/g(x);
            pour j de 1 jusque 5 faire
              x0:=h(x0);
            fpour;
            retourne x0;
          }:;

      Remarque
      On peut remplacer `g(x):=(x+1)*exp(x);` par `g:=function_diff(f);`
      On tape pour avoir la valeur de x5 qui approche a :
      `Newtonvaleur(-2.)`
      On obtient :
      `-2.54264135777`
      On tape pour avoir la valeur de x5 qui approche b :
      `Newtonvaleur(0)`
      On obtient :
      `-0.259171101819`
   3. Si on veut avoir une valeur approchée de a (resp b) à eps prés, il faut avoir un xj qui vérifie xj−eps≤ a<xj (resp xj−eps ≤ b<xj) c’est à dire f(xj−eps)>0 (resp f(xj−eps)<0) i.e. on doit avoir dans les 2 cas, f(xj−eps)*f(x0)≤ 0.
      On tape :

          Newtonvalpres(x0,eps):={
            local j,g,h,t,s;
            f(x):=x*exp(x)+0.2;
            g(x):=(x+1)*exp(x);
            h(x):=x-f(x)/g(x);
            j:=0;
            t:=x0-eps;
            //s:=ifte(f(x0)>0,1,-1);
            s:=sign(f(x0));
            tantque s*f(t)>0 faire
              x0:=h(x0);
              t:=x0-eps;
              j:=j+1;
            ftantque;
            print(j);
            retourne t,x0;
          }:;

      On tape pour avoir la valeur de xj qui donne un encadrement de a à 1e−6 prés :
      `Newtonvalpres(-2.,1e-6)`
      On obtient pour j=3 :
      `-2.54264235686,-2.54264135686`
      On tape pour avoir la valeur de xj qui donne un encadrement de a à 1e−10 prés :
      `Newtonvalpres(-2.,1e-10)`
      On obtient pour j=4 :
      `-2.54264135787,-2.54264135777`
      On tape pour avoir la valeur de xj qui donne un encadrement de b à 1e−6 prés :
      `Newtonvalpres(0,1e-6)`
      On obtient pour j=4 :
      `-0.259172101477,-0.259171101477` On tape pour avoir la valeur de xj qui donne un encadrement de b à 1e−10 prés :
      `Newtonvalpres(0,1e-10)`
      On obtient pour j=5 :
      `-0.259171101919,-0.259171101819`
   4. yexp(y)+a=0 a une solution si −exp(−1)+a ≤ 0 i.e si a<1/e Cette fonction est définie pour des x tels que xexp(x)=a<1/e. On résout donc l’équation xexp(x)−1/e=0:
      On modifie le programme en :

          Newtonvaleura(x0,a):={
            local j,f,g,h;
            f(x,a):=x*exp(x)+a;
            g(x):=(x+1)*exp(x);
            h(x):=x-f(x,a)/g(x);
            pour j de 1 jusque 5 faire
              x0:=h(x0);
            fpour;
            retourne x0;
          }:;

      lorsque a=−1/e, on a f(0,a)=a<0 et f(1,a)=e−1/e>0. On tape :
      `Newtonvaleura(1,-1./e)`
      On obtient :
      `0.278464542823`
      Pour x≤ 0, a=x*exp(x)≤ 0 donc l’équation en y, y*exp(y)+x*exp(x)=0 a une seule solution positive (y*exp(y)+a vaut a≤ 0 pour y=0 et vaut (x(exp(x)2−1)/(exp(x))>0 pour y=−x). On peut donc l’obtenir par la méthode de Newton : on démarre avec y0=−a car pour x>0 la courbe de f(x,a)=x*exp(x)+a se trouve au dessus de sa tangente en x=0 (puisque f"(x)>0 pour x>0) et que cette tangente d’équation y=x+a coupe l’axe des x en x=−a.
      Pour 0<x<0.278464542823 l’équation en y, y*exp(y)+x*exp(x)=0 a deux solutions que l’on peut obtenir par la méthode de Newton : on démarre soit par x0=0 soit par x0=−2.
      On tape (on choisit de prendre x5 comme valeur approchée) :

          Newtonimplicit():={
            local j,f,g,h,a,xj,y0,y,L;
            g(y):=(y+1)*exp(y);
            f(y,a):=y*exp(y)+a;
            pour xj de -4 jusque 0 pas 0.1 faire
            a:=xj*exp(xj);
            h(y):=y-f(y,a)/g(y);
            y0:=-a;
            pour j de 1 jusque 5 faire
              y0:=h(y0);
            fpour;
            L:=L,point(xj+i*y0);
          fpour;
          L:=L,point(0.28-i);
          pour xj de 0.01 jusque 0.28 pas 0.02 faire
            a:=xj*exp(xj);
            h(y):=y-f(y,a)/g(y);
            y0:=0;
            pour j de 1 jusque 5 faire
              y0:=h(y0);
            fpour;
            L:=L,point(xj+i*y0);
            y0:=-2;
            pour j de 1 jusque 5 faire
              y0:=h(y0);
            fpour;
            L:=L,point(xj+i*y0)
          fpour;
          retourne L;
          }:;

      On tape `Newtonimplicit()`
      On obtient :

      On peut aussi vouloir calculer y à eps -près. Mais attention lorsqu’on part de y0=−2 on obtient une valeur soit par défaut, soit par excés selon le signe de f(−2,a) (si f(−2,a)>0 ce sera par excès car pour x=−2 on a un point d’inflexion).
      On tape alors :

          Newtonimpl(eps):={
            local j,f,g,h,a,xj,y0,y,t,s,L;
            g(y):=(y+1)*exp(y);
            f(y,a):=y*exp(y)+a;
            L:=NULL;
            pour xj de -5 jusque 0 pas 0.05 faire
            a:=evalf(xj*exp(xj));
            h(y):=y-f(y,a)/g(y);
            y0:=-a;
            t:=y0-eps;
            s:=sign(f(y0,a));
            tantque s*f(t,a)>0 faire
              y0:=h(y0);
              t:=y0-eps;
            ftantque;
            L:=L,point(xj+i*y0);
          fpour;
          L:=L,point(0.28-i);
          pour xj de 0.01 jusque 0.28 pas 0.02 faire
            a:=evalf(xj*exp(xj));
            h(y):=y-f(y,a)/g(y);
            y0:=0.;
            t:=y0-eps;
            s:=sign(f(y0,a));
            tantque s*f(t,a)>0 faire
              y0:=h(y0);
              t:=y0-eps;
            ftantque;
            L:=L,point(xj+i*y0);
          fpour;
            pour xj de 0.01 jusque 0.28 pas 0.02 faire
              a:=evalf(xj*exp(xj));
            h(y):=y-f(y,a)/g(y);
            y0:=-2.;
            s:=sign(f(y0,a));
            si s>0  alors eps:=-abs(eps); fsi;
            t:=y0-eps;
            tantque s*f(t,a)>0 faire
              y0:=h(y0);
              t:=y0-eps;
            ftantque;
            L:=L,point(xj+i*y0)
          fpour;
          retourne L;
          }:;

      On tape `Newtonimpl(0.01)`
      On peut vérifier en tapant :
      `plotimplicit(x*exp(x)+y*exp(y),[x,y])`

2. L’énoncé
   Donner la valeur approchée de cos(x)=x pour x∈ [0;1] obtenue en partant de x0=0 après 4, puis après 10 itérations lorsque :
   1. On applique la méthode du point fixe à f(x)=cos(x).
   2. On applique la méthode de Newton.
   3. On applique la méthode du Δ2 d’Aitken.
   4. On applique la méthode de Steffensen.
   Quelle méthode vous semble la meilleure ? Expliquez pourquoi.

   La solution avec `Xcas`
   On configure `Xcas` avec 20 digits.

   1. fa fonction f(x)=cos(x) est sin(1)-contractante sur [0;1], car d’après le théorème des accroissements finis :
      il existe c∈ [0;1] tel que pour tout x1∈ [0;1] et tout x2∈ [0;1] on a cos(x1)−cos(x2)=(x1−x2)sin(c) donc
      |cos(x1)−cos(x2)|=|x1−x2||sin(c)|≤ |x1−x2|sin(1).
      On tape :

          ptfixecos(x0,n):={
          local j,f;
          f(x):=cos(x);
          pour j de 1 jusque n faire
            x0:=f(evalf(x0));
          fpour;
          retourne x0;
          }:;

      On tape : `ptfixecos(0,4)`
      On obtient : `0.654289790497779149974`
      On tape : `ptfixecos(0,10)`
      On obtient : `0.731404042422509858293`
   2. On pose F(x)=cos(x)−x et on a F′(x)=−sin(x)−1, on va donc itérer la fonction g(x)=x−F(x)/F′(x)=(x*sin(x)+cos(x))/(sin(x)+1).
      On tape :

          Newtoncos(x0,n):={
          local j,g,F,dF;
          F(x):=cos(x)-x;
          dF:=function_diff(F);
          //g(x):=(x*sin(x)+cos(x))/(sin(x)+1);
          g(x):=normal(x-F(x)/dF(x));
          pour j de 1 jusque n faire
            x0:=g(evalf(x0));
          fpour;
          retourne x0;
          }:;

      On tape : `Newtoncos(0,4)`
      On obtient : `0.739085133385283969762`
      On tape : `Newtoncos(0,10)`
      On obtient : `0.739085133215160641651`
   3. La méthode du Δ2 d’Aitken consiste à transformer la suite des itérées du point fixe par la fonction :
      gs(x)=x−(f(x)−x)*(f(x)−x)/(f(f(x))−2f(x)+x) avec f(x)=cos(x).
      On tape :

          Aitkencos(x0,n):={
          local j,gs,f,y0;
          f(x):=cos(x);
          gs(x):=x-(f(x)-x)*(f(x)-x)/(f(f(x))-2f(x)+x);
          pour j de 1 jusque n faire
            x0:=f(evalf(x0));
            y0:=gs(x0);
          fpour;
          print(x0);
          retourne y0;
          }:;

      On tape : `Aitkencos(0,4)`
      On obtient : `0.738050421371663847259`
      On tape : `Aitkencos(0,10)`
      On obtient : `0.739076383318955862683`
   4. La méthode de Steffenson consiste à itérer la fonction :
      gs(x)=x−(f(x)−x)*(f(x)−x)/(f(f(x))−2f(x)+x) avec f(x)=cos(x).
      On tape :

          Steffensencos(x0,n):={
          local j,gs,f;
          f(x):=cos(x);
          gs(x):=x-(f(x)-x)*(f(x)-x)/(f(f(x))-2f(x)+x);
          pour j de 1 jusque n faire
            x0:=gs(evalf(x0));
          fpour;
          retourne x0;
          }:;

      On tape : `Steffensencos(0,4)`
      On obtient : `0.739085133215160534355`
      On tape : `Steffensencos(0,10)`
      On obtient : `0.739085133215160641651`

   Les méthodes de Newton et de Steffensen sont plus performantes car ce sont des méthodes d’ordre 2 (la fonction que l’on iére a une dérivée nulle au point solution de f(x)=cos(x)=x).
   Même avec `Digits:=30` on a :
   `Steffensencos(0,6)=Steffensencos(0,10)=
   Newtoncos(0,6)=Newtoncos(0,10)=
   0.7390851332151606416553120876735`

3. L’énoncé
   Dans un problème de baccalauréat, on se propose de calculer des valeurs approchées des solutions de exp(−x)cos(x)=x sur [−π/2;π/2].
   1. Déterminer le nombre de solutions.
   2. Donner un algorithme de calcul et écrire le programme correspondant.
   3. Donner un encadrement de la solution ?
   4. Dessiner les points de coordonnèes t,x qui vérifient :
      exp(−x)cos(x)−x+t=0 pour t ∈ [−π/2;π/2] et x ∈ [−π/2;π/2]
   La solution avec `Xcas`
   1. On tape : `f(x:)=exp(-x)*cos(x)-x`
      `f1:=function_diff(f);f2:=normal(diff(f1(x)))` On trouve :
      `f1(x)=(-cos(x)-sin(x))*exp(-x)-1` et
      `f2=2*exp(-x)*sin(x)`
      On a :
      f2=0 en x=0 le point(0,1) est donc un point d’inflexion et
      sur [−π/2;0], on a f2<0 et sur [0;π/2], on a f2>0
      On a :
      f1(x)=exp(π/2)−1>0 pour x=−π/2
      f1(0)=−2
      f1(x)=−exp(−π/2)−1 <0 pour x=π/2
      f1 s’annule donc pour x=a<0 et donc f est croissante puis décroissante et comme on a f(−pi/2)=pi/2, f(0)=1 et f(pi/2)=−pi/2 et f continue, f s’annule en un seul point x=b>0 Pour vérifier, on tape :
      `G:=plotfunc(f(x),x=-pi/2..pi/2);tangente(G,0)`
   2. On peut appliquer la méthode de Newton en partant de x0=0.0, la suite xn=xn−1−f(xn−1)/f1(xn−1) va donner une valeur approchée par défaut de b car sur [0;b] f est positive décroissante et convexe.

      On tape :
      `Newton0(4)`
      On obtient avec 22 digits:
      `0.51775736368245829829471`

   3. On tape :

          Newton0(n):={
          local j,f,f1,g,x0;
          f(x):=exp(-x)*cos(x)-x;
          f1:=function_diff(f);
          g(x):=normal(x-f(x)/f1(x));
          x0:=0.0;
          pour j de 1 jusque n faire
          x0:=g(x0)
          fpour;
          retourne x0;
          }:;

   4. Pour avoir un encadrement de la solution à `eps` près, on continue l’itération tant que la valeur de f(xn+eps) reste strictement positive.
      On tape

          Newtoneps(n,eps):={
            local j,f,f1,g,x0;
            f(x):=exp(-x)*cos(x)-x;
            f1:=function_diff(f);
            g(x):=normal(x-f(x)/f1(x));
            x0:=0.0;
            j:=0;
            tantque f(x0+eps)>0 faire
              x0:=g(x0);
              j:=j+1;
            ftantque;
            print(j);
            retourne x0,x0+eps;
          }
          :;

      On tape :
      `Newtoneps(0,1e-20)`
      On obtient :
      `0.51775736368245829832277,0.51775736368245829833277`
   5. Il faut voir que si on remplace f(x) par f(x)+t la suite définie par :x0=0 et xn+=xn−(f(xn)+t)/f1(xn) approche la solution en x de f(x)+t=0 par excès si t<−1 et par défaut si t>−1 car pour x=0 la fonction f(x)+t a un point d’inflexion qui est le point (0;1+t). De plus f(x)+t>1+t pour x<0 et f(x)+t<1+t pour x>0. Donc si 1+t>0 la solution sera positive et si 1+t<0 la solution sera negative
      On tape :

          Newtonimpl():={
            local j,f,f1,g,x0,t,a,L;
            a:=evalf(pi/2);
            f(x):=exp(-x)*cos(x)-x;
            f1:=function_diff(f);
            L:=NULL;
              pour t de -a jusque -1 pas 0.1 faire
                g(x):=normal(x-(f(x)+t)/f1(x));
                x0:=0.0;
                tantque f(x0-0.01)+t<0 faire
                  x0:=g(x0);
                ftantque;
                L:=L,point(t,x0);
              fpour;
              pour t de -1 jusque a pas 0.1 faire
                g(x):=normal(x-(f(x)+t)/f1(x));
                x0:=0.0;
                tantque f(x0+0.01)+t>0 faire
                  x0:=g(x0);
                ftantque;
                L:=L,point(t,x0);
              fpour;
              return L;
            }
          :;

      On tape :
      `Newtonimpl()`
      On obtient :

### 12.5.3 La méthode de Newton avec préfacteur

Lorsqu’on part d’une valeur x0 trop éloignée de la racine de f(x) (si par exemple |f(x0)| est grand), on a intérêt à utiliser un préfacteur pour se rapprocher plus vite de la solution de f(x)=0.
Posons n(x)=−f(x)/f′(x), on a alors :

lim
h → 0

(f(x0+h*n(x0))−f(x0))
h*n(x0)

=f′(x0)

donc

lim
h → 0

(f(x0+h*n(x0))−f(x0))
h

=n(x0)*f′(x0)=−f(x0)

ce qui veut dire que :
f(x0+h*n(x0))=f(x0)(1−h)+h· є(h) avec є(h) tend vers 0 quand h tend vers 0.
Donc, il existe h0 vérifiant :
|f(x0+h0*n(x0))|<|f(x0)|
Remarque : Il faut minimiser |f(x0+h0*n(x0))|. or plus h0 est proche de 1 et plus |f(x0)*(1−h0)| sera petit. Par exemple, on prendra le plus grand h0, dans la liste [1,3/4,(3/4)2,...] qui vérifie |f(x0+h0*n(x0))|<|f(x0)|
Pour cette valeur de h0, x0+h0*n(x0) est probablement plus proche de la racine que x0 : on dit que h0 est le préfacteur de la méthode de Newton.
On va choisir par exemple au début h0=1, et on regarde si |f(x0+n(x0))|<|f(x0)|, si ce n’est pas le cas on prend h0=(3/4) et on regarde si |f(x0+3/4*n(x0))|<|f(x0)|, si ce n’est pas le cas on prend h0=(3/4)2 etc...
On change de préfacteurs à chaque étape jusqu’à ce que : abs(f(x1))−abs(f(x0))<0 sans préfacteur, on continue alors l’itération sans préfacteur, c’est à dire avec la méthode de Newton normale. On écrit donc :

    newton_prefacts(f,x0,eps):={
    local x1,h,h0,prefact,niter;
    //prefact est egal par ex a 3/4
    h0:=1.0;
    niter:=0;
    prefact:=0.75;
    x1:=x0-h0*f(x0)/function_diff(f)(x0);
    while (abs(f(x1))-abs(f(x0))>0) {
       h0:=h0*prefact;
       x1:=x0-h0*f(x0)/function_diff(f)(x0);
    }
    h:=eps;
    while (h0!=1 and niter<100){
       x0:=x1;
       x1:=x1-h0*f(x1)/function_diff(f)(x1);
       while (abs(f(x1))-abs(f(x0))>0) {
          h0:=h0*prefact;
          x1:=x0-h0*f(x0)/function_diff(f)(x0);
       }
       while (abs(f(x1))-abs(f(x0)<0 and h0!=1)) {
          h0:=h0/prefact;
          x1:=x0-h0*f(x0)/function_diff(f)(x0);
       }
    niter:=niter+1;
    }
    while (f(x1-h)*f(x1+h)>0  and niter<200){
       x0:=x1;
       x1:=x1-f(x1)/function_diff(f)(x1);
       niter:=niter+1;
    }

    if  (niter<200) {return x1;} else {return "pas trouve";}
    }

On définit la fonction f par `f(x):=x``2``-2` et on met ce programme dans un niveau éditeur de programmes (que l’on ouvre avec `Alt+p`), puis on le teste et on le valide avec `OK`.
On tape :
`newton_prefacts(f,100,1e-10)`
On obtient :
`1.41421356237` On tape :
`newton_prefacts(f,3,1e-5)`
On obtient :
`1.41421378005`

## 12.6 Trouver un encadrement de x0 lorsque f(x0) est minimum

Soit f une fonction définie sur [a;b]. On suppose que f est unimodale sur [a;b], c’est à dite que f a un seul extremum sur [a;b]. On suppose de plus que cet extremum est un minimum (sinon on remplacera f par −f.) On se propose de trouver un encadrement à eps près de la valeur pour laquelle f est minimum.

### 12.6.1 Déscription du principe de la méthode

On partage [a;b] en trois morceaux en considérant c et d vérifiant : a<c<d<b.
On calcule f(c) et f(d) et on les compare.
Puisque f a un seul minimum sur [a;b] elle décroit, passe par son minimum, puis f croit. Selon les trois cas possibles on a :

- f(c)<f(d)
  dans ce cas, la valeur pour laquelle f est minimum n’appartient pas à [d;b]
- f(c)>f(d)
  dans ce cas, la valeur pour laquelle f est minimum n’appartient pas à [a;c]
- f(c)=f(d)
  dans ce cas, la valeur pour laquelle f est minimum n’appartient pas à [d;b] ni à [a;c]

Ainsi, l’intervalle de recherche a diminué et on peut recommencer le processus. Pour que l’algorithme soit performant, on veut que l’intervalle de recherche diminue rapidement et que le nombre de valeurs de f à calculer soit le plus petit possible. Pour cela comment doit-on choisir c et d ?

### 12.6.2 Déscription de 2 méthodes

#### On fait presque une dichotomie

On choisit c et d proche de a+b/2 par exemple :
c=a+b−eps/2 et d=a+b+eps/2 pour eps donné. Dans ce cas, à chaque étape l’intervalle diminue presque de moitié mais on doit calculer, à chaque étape, deux valeurs de f.

#### On utilise la suite de Fibonacci

Comment faire pour que l’une des valeurs de f déjà calculée serve à l’étape suivante ?
La solution se trouve dans la suite de Fibonacci, suite définie par :
u0=1, u1=2, un=un−2+un−1 dont les premiers termes sont : 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89... Par exemple si on partage [a;b] en 89 parties égales si l=(b−a)/89, on choisit c=a+34*l et d=a+55*l et ainsi on a :
c−a=34*l, d−c=21*l, b−d=34*l (car 89=55+34 et 34+21=55 puisque 21,34,55,89 sont des termes consécutifs de la suite de Fibonacci).
On calcule f(c) et f(d) puis on réduit l’intervalle en un intervalle de longueur (b−a)*55/89, par exemple si l’intervalle suivant est [a;d] et, si on recommence le processus, le point c est le futur point d.
Donc à chaque étape il suffit de calculer une seule valeur de f pour passer de l’intervalle [a;b] (proportionnel à un) à l’intervalle [a;d] ou [c;b] (proportionnel à un−1). Il y a bien sûr le cas f(c)=f(d) où il faut à l’étape suivante calculer deux valeurs de f, mais dans ce cas on gagne 3 étapes car on passe de l’intervalle [a;b] (proportionnel à un) à l’intervalle [c;d] (proportionnel à un−3).
Selon la valeur eps de la longueur de l’encadrement, on calcule k:=ceil(2*(b−a)/eps); et la première valeur t=un de la suite de Fibonacci supérieure à k. il faut alors diviser l’intervalle [a;b] en t parties égales. On applique alors plusieurs fois le processus et on s’arrête quand n=1, c’est à dire quand l’intervalle a été réduit à un intervalle de longueur 2*(b−a)/t qui est, grace au choix de t (t>k>2*(b−a)/eps) inférieur à eps.

### 12.6.3 Traduction `Xcas` de l’algorithme avec Fibonacci

    //f(x):=2*x^4-10*x^3-4*x^2+100
    //fibomin(f,1,5,0.000001)
    //g(x):=2*x^4-10*x^3+4*x^2+100
    //fibomin(g,1,5,1e-20)
    //calcul la valeur du min d'une fonction ayant
    //un seul extrema sur [a,b]
    fibomin(f,a,b,eps):={
      local c,d,F,k,n,t,g,h,l,fc,fd;
      if (a>b) {c:=a;a:=b;b:=c;}
      k:=ceil(2*(b-a)/eps);
      F:=1,2;
      n:=1;
      g:=1;
      t:=2;
      //construction de F=la suite de Fibonacci
      //h,g,t sont 3 termes consecutifs de F
      while (t<k) {
        n:=n+1;
        h:=g;
        g:=t;
        t:=h+g;
        F:=F,t;
      }
      l:=(b-a)/t;
      c:=a+h*l;
      d:=a+g*l;
      fc:=f(c);
      fd:=f(d);
      //on itere le processus et on s'arrete qd n=1
      while (n>1) {
        if (fc>fd) {
          a:=a+h*l;
          fc:=fd;
          t:=h;
          h:=g-h;
          g:=t;
          fd:=f(a+g*l);
          n:=n-1;
        }else{
          if (fc<fd) {
     b:=a+g*l;
     t:=h;
     h:=g-h;
     g:=t;
     fd:=fc;
     fc:=f(a+h*l);
     n:=n-1;
          }else{
     a:=a+h*l;
     b:=b-h*l;
     t:=g-h;
     g:=h-t;
     h:=t-g;
     fc:=f(a+h*l);
     fd:=f(a+g*l);
     n:=n-3;
          }
        }
      }
      return [a,b];
    }

On tape :
`f(x):=x```^```4-10`
`fibomin(f,-1,1,1e-10)`
On obtient :
`[(-1)/53316291173,1/53316291173]`
On tape :
`g(x):=2*x```^```4-10*x```^```3-4*x```^```2+100`
`fibomin(g,1,5,1e-10)`
On obtient :
`[86267571271/21566892818,86267571273/21566892818]` On tape :
`h(x):=2*x```^```4-10*x```^```3+4*x```^```2+100`
`fibomin(h,1,5,1e-10)`
On obtient :
`[74644573011/21566892818,74644573013/21566892818]`