επόμενο: Υπολογισμός αορίστων ολοκληρωμάτων εμφάνιση: Συνάρτηση και γραφική παράσταση προηγούμενο: Άσκηση 1η Πίνακας περιεχομένων Ευρετήριο

### Άσκηση 2η

Έστω η (πραγματική) συνάρτηση f από το στο που ορίζεται ως:

f (x) = .

1. Αποδείξτε ότι για κάθε x , P(x) = x4 - 2x3 + 2x2 + 1 1.
2. Μελετήστε τις μεταβολές της f(x) και σχεδιάστε την γραφική της παράσταση.
3. Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης f(x) στο σημείο με τετμημένη x = 0.

Απαντήσεις

1. Για να αποδείξουμε ότι για κάθε x , P(x) = x4 - 2x3 + 2x2 + 1 1, πληκτρολογούμε πρώτα:
   `P(x):=x^4-2*x^3+2*x^2+1`
   κατόπιν
   `factor(P(x)-1)`
   και έχουμε σαν αποτέλεσμα:
   `(x^2-2*x+2)*x^2`
   Στην συνέχεια φέρνουμε το τριώνυμο x2 - 2x + 2 στην κανονική του μορφή πληκτρολογώντας:
   `canonical_form(x^2-2*x+2)`
   και παίρνουμε σαν αποτέλεσμα:
   `(x-1)^2+1`
   Επειδή δε για κάθε x , ισχύει P(x) - 1 = x4 - 2x3 + 2x2 = x2*(x - 1)2 + x2 0, συμπεραίνουμε πως για κάθε x , P(x) = x4 - 2x3 + 2x2 + 1 1.

2. Για να υπολογίσουμε την παράγωγο της f(x) στην κανονική της (ή απλοποιημένη) μορφή πληκτρολογούμε:
   `normal(derive((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x))`
   και βλέπουμε πως το αποτέλεσμα είναι:
   `(-(exp(x))^4+2*(exp(x))^3-2*(exp(x))^2-1)/` `((exp(x))^5+2*(exp(x))^3+exp(x))`

   Παρατηρούμε πως ο αριθμητής της παραπάνω παράστασης είναι πάντα αρνητικός διότι είναι ίσος με - P(exp(x)), ενώ ο παρανομαστής της είναι πάντα θετικός διότι είναι ίσος με ένα άθροισμα αριθμών θετικών. Η συνάρτηση f(x) είναι λοιπόν φθίνουσα.
   Για να βρούμε το όριο της f(x) στο + , πληκτρολογούμε:

   `limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=+infinity)`
   και παίρνουμε :
   `0`
   Για να βρούμε το όριο της f(x) στο - , πληκτρολογούμε:
   `limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=-infinity)`
   και παίρνουμε:
   `infinity`
   Για να σχεδιάσουμε την γραφική παράσταση της f(x), πληκτρολογούμε:
   `plotfunc(((exp(x))^2-exp(x)+1)/((exp(x))^3+exp(x)),x)`

3. Όπως ξέρουμε, η εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης f(x) στο σημείο με τετμημένη x = 0 είναι y = f' (0)*x + f (0). Πρέπει λοιπόν να ορίσουμε τις συναρτήσεις f(x) και f' (x).

   Για να ορίσουμε την συνάρτηση f(x), πληκτρολογούμε:

   `f(x):=(exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x))`
   και κατόπιν εύκολα υπολογίζουμε την τιμή f (0) πληκτρολογώντας:
   `f(0)`
   για να πάρουμε

   Στην συνέχεια ορίζουμε την συνάρτηση, df, της παραγώγου της f(x), πληκτρολογώντας είτε (προσέξτε πως τις συναρτήσεις df και f τις γράφουμε χωρίς την μεταβλητή x, ενώ με την `normal` απλοποιούμε την παράσταση):
   `df:=normal(function_diff(f))`
   είτε
   `df:=unapply(normal(diff(f(x),x)),x)`
   και υπολογίζουμε την df (0), πληκτρολογώντας:
   `df(0)`
   για να πάρουμε:

   -

   Άρα, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο με τετμημένη x = 0 είναι: y = - x + .
   Αυτό το επιβεβαιώνουμε πληκτρολογώντας:
   `εξίσωση_καμπύλης(εφαπτομένη_σε_συνάρτηση(f(x),0))`
   διότι παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα: y = - x + .

επόμενο: Υπολογισμός αορίστων ολοκληρωμάτων εμφάνιση: Συνάρτηση και γραφική παράσταση προηγούμενο: Άσκηση 1η Πίνακας περιεχομένων Ευρετήριο
Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας