# Chapitre 3 Les fractions continues et π

## 3.1 Développement en fractions continues de π

Avec `Xcas` si on tape :
`evalf(pi,21)`
On obtient :
`3.141592653589793238462`
Une valeur approchée par excès de π par un rationnel est :

22
7

On a 22/7≃ 3.14285714286 ce qui fait 2 décimales exactes et
`evalf(22/7-pi)` renvoie `0.00126448926721`
Donc 0<22/7−0.0013<π<22/7 et 0<22/7−π<1.310−3
Une autre valeur approchée par excès de π par un rationnel est :

355
113

On a 355/113≃ 3.14159292035 ce qui fait 6 décimales exactes et
`evalf(355/113-pi)` renvoie `2.66764118351e-07`
Donc 0<355/113−2.67e−07<π<355/113
Une valeur approchée par défaut de π par un rationnel est :

333
106

On a 333/106≃ 3.14150943396 ce qui fait 4 décimales exactes et
`evalf(pi-333/106)` renvoie `8.32196276406e-05`
Donc

333
106

<π<

333
106

+8.33e−05

Ces approximations viennent du développement en fractions continues de π.
On tape :
`dfc(pi)`
On obtient :
`[3,7,15,1,292,1,1]`
On tape :
`dfc2f([3,7])`
On obtient 3+1/7 :
`22/7`
On tape :
`dfc2f([3,7,15])`
On obtient 3+1/(7+1/15):
`333/106`
On tape :
`dfc2f([3,7,15,1])`
On obtient 3+1/(7+1/(15+1)) :
`355/113`

## 3.2 construction d’un carré ayant pour aire 22/7

Ce carré a pour coté : √22/√7.
On a :
22=52−3 et 7=22+3
Donc :
√22 est le 2ième côté de l’angle droit d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse a pour longueur 5 et un côté de l’angle droit a pour longueur √3.
√7 est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueur 2 et √3.
On tape :

    triangle_equilateral(1,3,C):;;
    C:=C;
    A:=point(-1);B:=point(1);
    l:=normal(longueur(A,C));
    D:=point(4);
    segment(A,D);
    c:=cercle(A,D);
    F:=inter(c,cercle(A,l/2),C);
    normal(longueur2(F,D));
    normal(longueur2(D,C));
    G:=D+(C-D)/longueur(C,D);
    normal(longueur2(D,G));
    H:=normal(inter_unique(segment(D,F),parallele(G,droite(F,C))));
    normal(longueur(H,D));
    segment(F,D),segment(D,C);
    carre(D,H,K,L,affichage=1);

On obtient l’aire du carré rouge approche par excèsà 1.310−3 l’aire du cercle rouge de diamètre AB:
On a :
`normal(longueur(A,C));` renvoie `2*sqrt(3)`
`normal(longueur2(F,D)` renvoie `22`
`normal(longueur2(D,C));` renvoie `7`
`normal(longueur2(D,G))` renvoie `1`
`normal(longueur(H,D));` renvoie `(sqrt(154))/7`
`normal(longueur2(H,D));` renvoie `22/7`
`aire(carre(D,H))` renvoie `22/7`

## 3.3 construction d’un carré ayant pour aire 355/113

Ce carré a pour coté : √355/√113.
On a :
355=182+31 et 113=122−31
355/92=4+31/92 et 113/62=4−31/62
Il reste a construire √31. On a :
31=62−5