### 1.33.3 Ανάπτυγμα σε σειρά : `series`

`series` παίρνει από 1 μέχρι 4 ορίσματα :

- μια παράσταση που εξαρτάται από μια μεταβλητή (από προεπιλογή `x`),
- μια ισότητα `variable=value` (π.χ. x=a) για τον υπολογισμό του αναπτύγματος σε σειρά, από προεπιλογή `x=0`,
- έναν ακέραιο n, την τάξη του αναπτύγματος σε σειρά, από προεπιλογή `5`,
- μια κατεύθυνσση `-1, 1` (για ανάπτυγμα σε σειρά χωρίς κατεύθυνση) ή `0` (για ανάπτυγμα σε σειρά με 2 κατευθύνσεις) (από προεπιλογή `0`).

Σημειώσατε ότι η σύνταξη `…,``x``,``n``,``a``,...` (αντί για `…,``x=a``,``n``,...`) είναι επίσης αποδεκτή.
`series` επιστρέφει το πολυώνυμο στο `x-a`, συν ένα υπόλοιπο της μορφής:

`(x-a)```^```n*order_size(x-a)`

όπου `order_size` είναι μια συνάρτηση τέτοια ώστε,

∀ r>0,

lim
x→ 0

xr `order_size`(x) = 0

Η τάξη που επιστρέφεται από την `series` μπορεί να είναι μικρότερη από n εάν γίνονται απαλοιφές μεταξύ αριθμητών και παρονομαστών, για παράδειγμα

Παραδείγατα :

- ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του `x=0`
  Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά της παράστασης x3+sin(x)3/x−sin(x) στην περιοχή του `x=0`.
  Είσοδος :
  `series(x```^```3+sin(x)```^```3/(x-sin(x)))`
  Έξοδος είναι ανάπτυγμα μόνο 2ης τάξης :
  `6+-27/10*x```^2```+x```^```3*order_size(x)`
  Έχουμε χάσει 3 τάξεις γιατί ο μικρότερος βαθμός του αριθμητή και του παρονομαστή είναι 3. Για να πάρουμε ανάπτυγμα 4ης τάξης, πρέπει να ζητήσουμε n=7, εισάγοντας:
  `series(x```^```3+sin(x)```^```3/(x-sin(x)),x=0,7)`
  ή:
  `series(x```^```3+sin(x)```^```3/(x-sin(x)),x,0,7)`
  Έξοδος είναι ανάπτυγμα 4ης τάξης :
  `6+-27/10*x```^```2+x```^```3+711/1400*x```^```4+ x```^```5*order_size(x)`
- ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του `x=a`
  Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 4ης τάξης της cos(2x)2 στην περιοχή του x=π/6.
  Είσοδος:
  `series(cos(2*x)```^```2,x=pi/6, 4)`
  Έξοδος :
  `1/4+(-(4*sqrt(3)))/4*(x-pi/6)+(4*3-4)/4*(x-pi/6)```^```2+ 32*sqrt(3)/3/4*(x-pi/6)```^```3+(-16*3+16)/3/4*(x-pi/6)```^```4+ (x-pi/6)```^```5*order_size(x-pi/6)`
- ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του `x=+``∞` ή `x=-``∞`
  1. Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 5ης τάξης της arctan(x) στην περιοχή του `x=+``∞`.
     Είσοδος :
     `series(atan(x),x=+infinity,5)`
     Έξοδος :
     `pi/2-1/x+1/3*(1/x)```^```3+1/-5*(1/x)```^```5+ (1/x)```^```6*order_size(1/x)`
     Σημειώστε ότι η μεταβλητή του αναπτύγματος και το όρισμα της συνάρτησης `order_size` είναι h=1/x →x→ + ∞ 0 .
  2. Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 2ης τάξης της παράστασης (2x−1)e1/x−1 στην περιοχή του `x=+``∞`.
     Είσοδος :
     `series((2*x-1)*exp(1/(x-1)),x=+infinity,3)`
     Έξοδος είναι ανάπτυγμα 1ης τάξης:
     `2*x+1+2/x+(1/x)```^```2*order_size(1/x)`
     Για να πάρουμε ανάπτυγμα 2ης τάξης 1/x, εισάγουμε :
     `series((2*x-1)*exp(1/(x-1)),x=+infinity,4)`
     Έξοδος :
     `2*x+1+2/x+17/6*(1/x)```^```2+(1/x)```^```3*order_size(1/x)`
  3. Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 2ης τάξης της παράστασης (2x−1)e1/x−1) στην περιοχή του `x=-``∞`.
     Είσοδος :
     `series((2*x-1)*exp(1/(x-1)),x=-infinity,4)`
     Έξοδος:
     `-2*(-x)+1-2*(-1/x)+17/6*(-1/x)```^```2+
     (-1/x)```^```3*order_size(-1/x)`
- ανάπτυγμα σε σειρά με μονή κατεύθυνση
  Η τέταρτη παράμετρος υποδεικνύει την κατεύθυνση :
  - `1` για ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του x=a με x>a,
  - `-1` για ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του x=a με x<a,
  - `0` για ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του x=a με x ≠ a.
  Για παράδειγμα, βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 2ης τάξης της παράστασης (1+x)1/x/x3 στην περιοχή του x=0+.
  Είσοδος :
  `series((1+x)```^```(1/x)/x```^```3,x=0,2,1)`
  Έξοδος :
  `exp(1)/x```^```3+(-(exp(1)))/2/x```^```2+1/x*order_size(x)`