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# Chapitre 14 Exemples de courbes en paramétrique

## 14.1 Les cycloïdes

### 14.1.1 La cycloïde

#### La courbe

Une cycloïde est le lieu d’un point M situé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite.
Si au départ M est à l’origine O, si le cercle C, de centre A et rayon R, roule sur l’axe des x, si P est le point de contact de C avec Ox lorsque C a tourné d’un angle t, on a :
OP=Rt,AP=−iR et AM=rotation(A,−t,AP)=−Ri(cos(−t)+isin(−t))=−Rsin(t)−Ricos(t) donc
OM=OP+PA+AM=Rt+iR−Rsin(t)−Ri(cos(t))=R(t−sin(t)+i(1−cos(t)))
L’équation paramétrique d’une cycloïde est donc :

x=R(t−sin(t)); y=R(1−cos(t))

Avec `Xcas`
On tape :

    R:=element(0..5);
    plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t,affichage=rouge);

On peut faire une animation pour voir le déplacement d’un point `M` d’un cercle `C` de rayon `R` lorsque `C` roule sur l’axe des `x`.
On tape :

    R:=element(0..5);
    plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t=-10..10,affichage=rouge);
    animation(seq('cercle(R*u+i*R,R)',u,-10,10,0.5));
    animation(seq('M:=point(R*(u-sin(u)+i*(1-cos(u))))',u,-10,10,0.5));
    animation(seq('segment(R*u+i*R,R*(u+i-i*exp(-i*u)))',u,-10,10,0.5));

On peut aussi faire une animation pour voir l’infuence du rayon `R`, mais ici, cela n’a pas beaucoup d’interêt.
On tape :

    animation(seq('plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),
                   t=-10..10,affichage=rouge)',R,0,3,0.1));

#### La longueur d’une arche de cycloïde

On peut calculer la longueur d’une arche de cycloïde.
On a : ds2=dx2+dy2 On tape :
`tlin(diff(R*(t-sin(t)),t)```^```2+diff(R*(1-cos(t)),t)```^```2)`
On obtient : `2*R```^```2+(-2*R```^```2)*cos(t)`
On tape :
`trigsin(halftan(2*R```^```2+(-2*R```^```2)*cos(t)))` On obtient : `4*R```^```2*sin(t/2)```^```2`
Quand t varie de 0 à 2π, la longueur d’une arche de cycloïde est :
`normal(int(2*R*sin(t/2),t,0,2*pi))`
On obtient : `8*R`

### 14.1.2 La cycloïde raccourcie

Une cycloïde raccourcie est le lieu d’un point P situé sur un rayon AM du cercle de centre A qui roule sans glisser sur une droite.
Si AP=k*AM=k*R avec k<1, l’équation paramétrique d’une cycloïde raccourcie est donc :

x=R(t−k*sin(t)); y=R(1−k*cos(t)) avec k<1

Avec `Xcas`, on tape :

    R:=element(0..3);
    k:=element(0..1);
    plotparam(R*(t-k*sin(t)+i*(1-k*cos(t))),t,affichage=rouge);

### 14.1.3 La cycloïde allongée ou trochoïde

Une cycloïde allongée ou trochoïde est le lieu d’un point Q situé sur le prolongement du rayon AM du cercle de centre A qui roule sans glisser sur une droite.
Si AQ=k*AM=k*R avec k>1, l’équation paramétrique d’une cycloïde allongée donc :

x=R(t−k*sin(t)); y=R(1−k*cos(t)) avec k>1

Avec `Xcas`, on tape :

    R:=element(0..3);
    k:=element(1..5);
    plotparam(R*(t-k*sin(t)+i*(1-k*cos(t))),t,affichage=rouge);

### 14.1.4 Les cycloïdes

On peut faire une animation pour voir le déplacement d’un point `M` d’un cercle `C` de centre `A` et de rayon `R`, et d’un point `P` du rayon `AM` lorsque `C` roule sur l’axe des `x`.
On tape :

    R:=element(0..3);
    k:=element(0..5,0.84);
    plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t=-8..8,affichage=rouge);
    plotparam(R*(t-k*sin(t)+i*(1-k*cos(t))),t=-8..8,affichage=vert);
    animation(seq('cercle(R*u+i*R,R)',u,-8,8,0.5));
    animation(seq('M:=point(R*(u-sin(u)+i*(1-cos(u))))',u,-8,8,0.5));
    animation(seq('P:=point(R*(u-k*sin(u)+i*(1-k*cos(u))))',u,-8,8,0.5));
    animation(seq('segment(R*u+i*R,R*(u+i-i*max(k,1)*exp(-i*u)))',u,-8,8,0.5));

On peut aussi faire une animation pour voir le déplacement d’un point `M` d’un cercle `C` de centre `A` et de rayon `R`, d’un point `P` du rayon `AM` et d’un point `Q` sur le prolongement du rayon `AM` lorsque `C` roule sur l’axe des `x`.
On tape :

    R:=element(0..3);
    k:=element(0 .. 1,0.84);
    l:=element(1 .. 4,2);
    plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t=-10..10,affichage=rouge);
    plotparam(R*(t-k*sin(t)+i*(1-k*cos(t))),t=-10..10,affichage=vert);
    plotparam(R*(t-l*sin(t)+i*(1-l*cos(t))),t=-10..10,affichage=bleu);
    animation(seq('cercle(R*u+i*R,R)',u,-10,10,0.5));
    animation(seq('M:=point(R*(u-sin(u)+i*(1-cos(u))))',u,-10,10,0.5));
    animation(seq('P:=point(R*(u-k*sin(u)+i*(1-k*cos(u))))',u,-10,10,0.5));
    animation(seq('Q:=point(R*(u-l*sin(u)+i*(1-l*cos(u))))',u,-10,10,0.5));
    animation(seq('segment( R*u+i*R, R*(u+i-i*l*exp(-i*u)))',u,-10,10,0.5));

## 14.2 Épicycloïde et hypocycloïde

### 14.2.1 Épicycloïde

Une épicycloïde est le lieu d’un point M situé sur un cercle C, de centre A et de rayon R, qui roule sans glisser sur un cercle C0, de rayon R0, lorsque C se trouve à l’extérieur de C0.
Si le cercle C0 est de centre O, si au départ M est en I sur Ox, si P est le point de contact de C avec C0 lorsque C a tourné d’un angle u, P a tourné d’un angle t sur C0, on a :
IP=R0t=Ru,
OA=(R+R0)(cos(t)+isin(t))=(R+R0)exp(it),
PA=R(cos(t)+isin(t)),
AM=rotation(A,u,AP)=−R(cos(t)+isin(t))(cos(u)+isin(u))=
−R(cos(u+t)+isin(u+t))=−R(cos((R0/R+1)t)+isin((R0/R+1)t))
On a :
OM=OA+AM= (R+R0)(exp(it))−Rexp(i(R0/R+1)t)
On pose R0/R+1=m, on a R+R0=Rm.
Donc l’équation paramétrique d’une épicycloïde est :

x=R(mcos(t)−cos(mt)); y=R(msin(t)−sin(mt))

La courbe se referme si 2kπ R0=2nπ R c’est à dire si le rapport R0/R est rationnel.

Cas particuliers
R=R0 on a une cardioïde,
R=R0/2 on a une néphroïde de rebroussement,
Avec `Xcas`
On tape :

    C:=cercle(0,3);
    R:=element(0.1..4);
    m:=3/R+1;
    plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
              t=-10..10,affichage=rouge);

On a choisit R0=3. On peut ainsi faire varier R et voir les 4 cas :
R=1, R=1.5, R=3, R=4. On peut faire une animation et voir le déplacement d’un point `M` d’un cercle `C` de centre `A` et de rayon `R` lorsque ce cercle roule à l’extérieur d’un cercle `C0` de centre `0` et de rayon `3`.
On tape :

    C:=cercle(0,3);
    R:=element(0..5);
    m:=3/R+1;
    plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
           t=-10..10,affichage=rouge);
    animation(seq('cercle((3+R)*exp(i*v),R)',v,-10,10,0.5));
    animation(seq('M:=point(R*m*cos(v)-R*cos(m*v)+
           i*(R*m*sin(v)-R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5));

### 14.2.2 Hypocycloïde

Une hypocycloïde est le lieu d’un point M situé sur un cercle C, de centre A et de rayon R, qui roule sans glisser sur un cercle C0, de rayon R0>R, lorsque C se trouve à l’intérieur de C0.
On peut changer R en −R dans l’équation d’une épicycloïde ou refaire les calculs...
Si le cercle C0 est de centre O, si au départ M est en I sur Ox, si P est le point de contact de C avec C0 lorsque C a tourné d’un angle u, P a tourné d’un angle t sur C0, on a :
IP=R0t=−Ru (car u est négatif et R positif),
OA=(R0−R)(cos(t)+isin(t)),
PA=−R(cos(t)+isin(t)),
AM=rotation(A,u,AP)=R(cos(t)+isin(t))(cos(u)+isin(u))=R(cos(u+t)+isin(u+t))=−R(cos((R0/R−1)t)+isin((R0/R−1)t))
On a :
OM=OA+AM=(R0−R)(cos(t)+isin(t))−R(cos((R0/R−1)t)+isin((R0/R−1)t))
Si on pose −R0/R+1=m, l’équation paramétrique d’une hypocycloïde est donc :

x=−R(mcos(t)−cos(mt)); y=−R(msin(t)−sin(mt))

La courbe se referme si 2kπ R0=2nπ R c’est à dire si le rapport R0/R est rationnel.

Cas particuliers
R=2R0/3 on a une hypocycloïde à 3 rebroussements,
R=R0/4 on a une astroïde.
Avec `Xcas`
On tape :

    C:=cercle(0,3);
    R:=element(0..2.9);
    m:=-3/R+1;
    plotparam(-R*m*cos(t)+R*cos(m*t)+i*(-R*m*sin(t)+R*sin(m*t)),
               t,affichage=rouge)

On a choisit R0=3. On peut ainsi faire varier R et voir les 3 cas :
R=0.75, R=1.2, R=2.

On peut faire une animation et voir le déplacement d’un point `M` d’un cercle `C` de centre `A` et de rayon `R` lorsque ce cercle roule à l’intérieur d’un cercle `C0` de centre `0` et de rayon `3`.
On tape :

    C:=cercle(0,3);
    R:=element(0..3);
    m:=3/R+1;
    plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
           t,affichage=rouge);
    animation(seq('cercle((3-R)*exp(i*v),R)',v,-10,10,0.5));
    animation(seq('M:=point(-R*m*cos(v)+R*cos(m*v)+
           i*(-R*m*sin(v)+R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5));

### 14.2.3 Epicycloïde et hypocycloïde

On peut unifier les 2 cas en prenant R négatif pour les hypocycloïde.
Avec `Xcas`
On tape :

    C:=cercle(0,3);
    R:=element(-3..4);
    m:=3/R+1;
    plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
              t=-10..10,affichage=rouge)

On a choisit R0=3. On peut ainsi faire varier R et voir les différents cas :
R=−1.2, R=−1, R=−0.75, R=1, R=1.5, R=3, R=4. On peut faire une animation et voir le déplacement d’un point `M` d’un cercle `C` de centre `A` et de rayon `|R|` lorsque ce cercle roule (à l’intérieur si `R<0` et à l’extérieur si `R>0`) sur le cercle `C0` de centre `0` et de rayon `3`.
On tape :

    C0:=cercle(0,3);
    R:=element(-3..4);
    m:=3/R+1;
    plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
           t=-10..10,affichage=rouge);
    animation(seq('cercle((3+R)*exp(i*v),R)',v,-10,10,0.5));
    animation(seq('M:=point(R*m*cos(v)-R*cos(m*v)+
           i*(R*m*sin(v)-R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5));
    animation(seq('segment((3+R)*exp(i*v),R*m*cos(v)-R*cos(m*v)+
           i*(R*m*sin(v)-R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5));

## 14.3 L’astroïde

On pourra se reporter à la session `astroide.xws`.

### 14.3.1 La courbe

Définition On déplace un segment AB de longueur constante a de façon que A soit sur 0x et B sur Oy.
L’astroïde est l’enveloppe de ce segment.
L’astroïde est aussi le lieu de la projection M de C sur AB, lorsque OACB est un rectangle. Si OACB est un rectangle et si t est l’angle 0x,0C, on a :
0A=acos(t) et 0B=asin(t)
La droite AB a donc comme équation :
x/(acos(t))+y/(asin(t))=1 ou encore
x*tan(t)+y=asin(t)
L’enveloppe de la droite AB est le lieu des points d’intersection de :
x*tan(t)+y=asin(t) et de x/cos(t)2=acos(t)
donc x=acos(t)3 et y=asin(t)−asin(t)*cos(t)2=asin(t)3.
L’astroïde a donc comme équation paramètrique : x=acos(t)3;y=asin(t)3.
On tape :
`plotparam(cos(t)```^```3+i*sin(t)```^```3,t)`

### 14.3.2 La longueur de cette courbe

On peut calculer la longueur d’un quart d’astroïde.
On a : ds2=dx2+dy2
On tape :
`tlin(diff(a*cos(t)```^```3,t)```^```2+diff(a*sin(t)```^```3,t)```^```2)`
On obtient : `(9*a```^```2)/8+(-((9*a```^```2)/8))*cos(4*t)`
On tape :
`trigsin(halftan((9*a```^```2)/8+(-((9*a```^```2)/8))*cos(4*t)))`
On obtient : `9/4*a```^```2*sin((4*t)/2)```^```2`
Quand t varie de 0 à 2π, la longueur d’un quart d’astroïde est :
`normal(int( 3/2*a*sin(2*t),t,0,pi/2))`
On obtient : `3/2*a`
On a la longueur de l’astroïde est donc : `6*a`

## 14.4 Le trifolium de paramètres a et b

### 14.4.1 Définition géométrique

Soient un repère orthonormé O,i,jet 2 réels a et b.
Soientt le cercle C de centre J=(a,b) et passant par O et une droite d passant par O. d coupe C en P. Sur la parraléle à Ox menée par P, on définit M et N par OM=On=OP.
Le lieu de M et N est un trifolium de paramètres a et b. On tape :

    O:=point(0);
    supposons(a=[1.0,-5,5,0.1]);
    supposons(b=[0.5,-5,5,0.1]);
    C:=cercle(point(2a+i*2b),O);
    supposons(c=[1.53,(-pi)/2,pi/2,0.01]);
    P:=inter_unique(C,d,[O]);
    l:=simplify(tan2sincos(trigcos(trigtan(longueur(O,P)))));
    M:=P+l;
    N:=P-l;
    trace(M);
    trace(N);
    m:=simplify(trigcos(trigtan(affixe(M))));
    affichage(plotparam(m,c),1);

On obtient :
La valeur de `affixe(P)` apres simplification :
`2*(cos(c)+(i)*sin(c))*(a*cos(c)+b*sin(c))`
La valeur de l=longueur(O,P) apres simplification :
`2*a*cos(c)+2*b*sin(c)`
La valeur l est périodique en c de période 2π et donc selon les valeurs de a,b,c, l est soit positive soit négative.
et la valeur de m=`affixe(M)`:
`2*a*cos(c)```^```2+2*a*cos(c)+2*b*cos(c)*sin(c)+2*b*sin(c)+
(i)*(2*a*cos(c)*sin(c)-2*b*cos(c)```^```2+2*b)`
m est donc l’affixe de M quand l>0 et l’affixe de N quand l<0.
L’équation paramétrique du trifolium de paramètres a et b est donc :
`2*(cos(c)+(i)*sin(c)+1)*(a*cos(c)+b*sin(c))`, c∈ [−π;π].
On a :
x(c)=2(cos(c)+1)(acos(c)+bsin(c))
y(c)=2sin(c)(acos(c)+bsin(c))
Cas particulier b=0
L’équation paramétrique du trifolium de paramètres a et b=0 est donc :
x(c)=2a(cos(c)+1)cos(c)=a(cos(2c)+2cos(c)+1)
y(c)=2asin(c)cos(c)=asin(2c)
On le retrouve dans l’exercice suivant mais dans un repère d’origine différente.

### 14.4.2 Exercice : le trifolium (avec b=0)

Le plan est muni d’un repère orthonormé O,i,j. Soit C le cercle de centre O et de rayon r.
A tout point M de C on associe le point N de C tel que :
(i,ON)=2(i,OM).
Soit P le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses.
Soit G le centre de gravité du triangle MNP.
Le lieu de G décrit un trifolium qui est une courbe d’équation paramétrique :
x(t)= a/3(2cos(t)+cos(2t))
y(t)= a/3sin(2t) On tape (prend r=4) :

    C:=cercle(0,4)
    supposons(a=[0.6,-5,5,0.1])
    M:=point(4*exp(i*a))
    N:=point(4*exp(2*i*a))
    P:=point(4*exp(-i*a))
    G:=isobarycentre(M,N,P)
    lieu(G,a)

On obtient :
On tape :
`trigcos(re(affixe(G))+i*im(affixe(G)))`
On obtient :
`8/3*cos(a)+4/3*cos(a*2)+4*i/3*sin(a*2)`

## 14.5 Le folium de Descartes

Le plan est muni d’un repère orthonormé O,i,j.
Etant donné p un nombre réel, soient la parabole P d’équation (x+y)2=2b(x−y) et la parabole p d’équation (x−y)2=2b(x+y).
Pour chaque u réel, la droite D d’équation y=tan(u)x coupe P en A et p en B. Soit M le conjugué harmonique de O par rapport à A et B. Le lieu de M est un folium de Descartes de paramètre a.
On tape :

    supposons(b=[0.375,-5,5,0.005]);
    P:=parabole((x+y)^2-b*(x-y));
    p:=parabole((x-y)^2-b*(x+y));
    supposons(u=[0.2,-pi,pi,0.005]);
    D:=droite(y=tan(u)*x);
    A:=inter(D,P)[1];
    B:=inter(D,p)[1];
    M:=conj_harmonique(A,B,point(0));
    trace(M);
    L:=lieu(M,u):;affichage(L,1);

On obtient :
On tape :
`m:=affixe(M)`
On obtient :
`((-i)*b*tan(u)```^```3-b*tan(u)```^```2+i*b*tan(u)+b)/(3*tan(u)```^```2+1)` On tape :
`normal(abs(m))`
On obtient :
`((-tan(u)```^```2+1)*sqrt(tan(u)```^```2+1)*b)/(3*tan(u)```^```2+1)` Le folium de Descartes a donc comme équation polaire :
r=b1−tan(u)2/cos(u)(1+3tan(u)2)
Remarque
Le folium de Descartes se déduit de la trisectrice de Mac-Laurin (d’équation polaire r=b/3(4cos(t)−1/cos(t)) cf section suivante) par une affinité de direction Oy et de rapport 1/√3.
En effet considérons l’affinité de direction Oy et de rapport √3 qui transforme P en M.
On a :
xM=xP et yM=yP*√(3)
Donc tan(u)=tan(t)/√(3) et OM=xM/cos(t) et OP=xM/cos(u) OM=OPcos(u)/cos(t)=b(1−tan(u)2)/(3*tan(u)2+1)/cos(t) On a 3tan2(u))=tan(t)2 donc
OM=b/3*(3−tan(t)2)/(tan(t)2+1)/cos(t)
OM=b/3*(3−tan(t)2)*cos(t)=b/3*(3cos(t)−sin(t)2/cos(t))
OM=b/3*(3cos(t)+cos(t)−1/cos(t))=b/3(4cos(t)−1/cos(t))
On tape :
`affichage(plotpolar(0.6/3*(4*cos(t)-1/cos(t)),t),1)`
`plotpolar(0.6*(1-tan(u)```^```2)/cos(u)/(1+3*tan(u)```^```2),u)`
On obtient en rouge la trisectrice de Mac-Laurin et en noir la folium de Descartes. La courbe en rouge se déduit de la courbe en noir par une affinité de direction Oy et de rapport √3.
:

## 14.6 La trisectrice de Mac-Laurin

La trisectrice de Mac-Laurin de paramètre a est la courbe d’équation paramétrique :
x(t):=a3−t2/t2+1
y(t):=at(3−t2)/t2+1
Tracer sa représentation paramétrique et calculer l’aire de la boucle. Cette courbe a été étudié par Mac-Laurin vers 1742.
C’est une cubique circulaire unicursale. La boucle est obtenue pour t∈ [−√3,√3]. On tape dans un niveau de géométrie :
`supposons(a=[-1.0,-5,5,0.1])`
`plotparam((3-t```^```2)*(1+i*t)/(t```^```2+1))`
On obtient pour a=−1 :
On tape :
`int(2*t*a*(3-t```^```2)/(t```^```2+1)diff(a*(3-t```^```2)/(t```^```2+1),t),t,sqrt(3),0)` On obtient : `3*sqrt(3)*a```^```2`

### 14.6.1 Construction géométrique

On peur donner de cette courbe a plusieurs constructions géométriques.
En voici :
Soit a un nombre réel.
Dans un repère orthonormé O,i,j, on considère une droite d et les points :
A(2a,0), S(3a,0).
Soit P le point de d d’angle polaire t défini par OP=PA et soit M le point de d défini par AM=AP.
Quel est le lieu de M ?
Dans un niveau de géométrie, on tape :

    supposons(a=[1.0,-5,5,0.1]);
    supposons(t=[0.5,-5,5,0.1]);
    A:=point(2a);
    S:=point(3a);
    P:=point(a+i*a*tan(t));
    O:=point(0);
    d:=droite(y=tan(t)*x):;d;
    M:=point(2a+a/cos(t)*exp(3*i*t));
    trace(M);
    triangle(A,P,M);
    angle(O,A,P,"t");

On obtient selon les valeurs de t et pour a=1 :
Montrons que le lieu de M est la trisectrice de Mac-Laurin de paramètre a.
Les triangles OAP et PAM sont isocèles donc on a :
(OA, OP)=t, (PA,PM)=2t, (AS,AM)=3t.
Cette courbe à été utilisée pour avoir une solution graphique au problème de la trisection de l’angle, d’où son nom de trisectrice.
Calculons OP=PA=AM :
On a : cos(t)=a/OP donc AM=OP=a/cos(t)
Dans le repère orthonormé A,i,j, l’équation polaire du lieu est donc r=a/cos(θ/3) (puisque (AS,AM)=3t=θ)
On retrouve alors l’aire de la boucle (`(3*sqrt(3))/2*a```^```2`) en tapant :
`int(int(r,r,0,a/cos(t/3)),t,0,pi)`
Le point M a donc comme coordonnées : 2a+acos(3t)/cos(t),asin(3t)/cos(t)
Donc OM2=4a2+a2/cos(t)2+4a2cos(3t)/cos(t) Comme cos(3t)=cos(t)3−3cos(t)(1−cos(t)2)=4cos(t)3−3cos(t)
On a OM2=4a2+a2/cos(t)2+16a2cos(t)2−12a2=(4acos(t)−a/cos(t))2
Dans le repère orthonormé O,i,j, l’équation polaire du lieu est donc :
r=a(4cos(t)−1/cos(t))
Les coordonnées de M sont donc : xM+iyM=r*exp(it)
On tape :
`z:=a*(4*cos(t)-1/cos(t))*exp(i*t)`
`xM:=re(z);yM:=im(z)`
`trigsin(xM*(xM```^```2+yM```^```2)-a*(3*xM```^```2-yM```^```2))`
On obtient : `0`
L’équation cartésienne est donc :
x(x2+y2)−a(3x2−y2)=0
ou encore : y2(x+a)=x2(3a−x)
Dans le repère orthonormé O,i,j, l’équation paramétrique du lieu est donc en posant y=tx :
x=a(3a−t2)/(1+t2),y=t*x=at(3a−t2)/(1+t2)
On peut créer une animation qui montre que la trisectrice de Mac-laurin est le lieu des points qui sont l’intersection de 2 droites qui tournent l’une autour de O à la vitesse angulaire t et l’autre autour de A à la vitesse angulaire 3t.
On tape (pour a=1):
`d(t):=droite(y=tan(t)*x);D(t):=droite(y=tan(3*t)*(x-2));`
`M(t):=inter_unique(d(t),D(t),affichage=1+epaisseur_point_2)`
puis sur un même niveau :
`plotpolar(4*cos(t)-1/cos(t),t,-pi,pi);A:=point(2);`
`animation(seq([d(t),D(t),M(t)],t,-3,3,0.05))`
On obtient :
On peut aussi montrer que la trisectrice de Mac-laurin est le lieu de la projection de O sur les tangentesà la parabole p d’équation y2=4ax−12a2 (c’est la podaire de p par rapport à O). p a comme foyer le point de coordonnées (4a,0) et comme directrice la droite d’équation x=2a.
On tape :

    supposons(a=[1.3,0,5,0.1]);
    p:=plotparam(3a+(t^2)/(4*a)+(i)*t,t=-10.0..10.0);
    supposons(t=[-9.0,-10,10,0.2]);
    T:=mediatrice(point(4a),point(2a+i*t));
    M:=projection(T,point(0));;
    trace(M);
    segment(0,M);
    O:=point(0);

On obtient :
Pour faire une animation, on tape dans un même niveau :
`p:=plotparam(3+(t```^```2)/(4)+(i)*t,t=-10.0..10.0);`
`plotpolar(4*cos(t)-1/cos(t),t,-pi,pi);O:=point(0);`
`animation(seq([mediatrice(point(4),point(2+i*t)),`
`segment(M:=projection(T,O),O),`
`affichage(M,1+epaisseur_point_2)],t,-10,10,0.1))`
et on obtient l’animation souhaitée. Autre définition Soit le cercle C de centre (4a,0) et la droite D d’équation x=−2a. Un droite d pivote autour de O et coupe C en P et D en Q. Le milieu M de PQ décrit alors une trisectrice de Mac-Laurin de paramètre a, de point double O et d’asymptote x=−a.
On tape :

    supposons(a=[1.3,0,5,0.1]);
    p:=plotparam(3a+(t^2)/(4*a)+(i)*t,t=-10.0..10.0);
    cercle(4*a,4*a);
    D:=droite(x=-2a);
    supposons(t=[-9.0,-10,10,0.2]);
    d:=droite(y=tan(t)*x):;d
    P:=point(8a*cos(t)*exp(i*t));
    Q:=point(-2a*(1+i*tan(t)));
    M:=milieu(P,Q);
    trace(M);
    O:=point(0);

On obtient :

## 14.7 Un exercice

### 14.7.1 L’énoncé

On considère la fonction g ℝ−>ℂ définie par : g(t)=∑n=0+∞ei2nt/2n

1. Montrer que g est périodique.
   Calculer g(−t) et supt∈ ℝ|g(t)|.
   Majorer l’erreur commise lorsqu’on prend : ∑n=020ei2nt/2n comme valeur approchée de g(t)
2. En utilisant `Xcas` dessiner l’image de ℝ par cette approximation de g.

### 14.7.2 Le corrigé

1. On a g(t+2π)=g(t) donc g est périodique de période 2π.
   On a g(−t)=g(t).
   On a |ei2nt/2n|<1/2n donc supt∈ ℝ|g(t)|<=∑n=0+∞1/2n=2.
   Si on prend : ∑n=020ei2nt/2n comme valeur approchée de g(t) l’erreur commise est inférieure à : ∑n=21+∞1/2n=1/220<1e−06
2. On définit la fonction g et on tape :
   `g(t):=sum(exp(i*2```^```n*t)/2```^```n,n=0..20)`
   L’image de ℝ par g est la courbe en paramétrique définie par g. On tape :
   `plotparam(g(t),t=0..pi);plotparam(g(t),t=pi..2pi,affichage=1)`
   On visualise la symétrie de la courbe par rapport à l’axe des x, symétrie due au fait que g(−t)=g(t) et on obtient :

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