# Chapitre 8 Pour s’amuser avec les mesures

## 8.1 La ficelle et la terre

Imaginez qu’avec une ficelle vous fassiez le tour de la terre. Puis vous rajoutez un mètre à cette ficelle et vous ceinturez à nouveau la terre. À quelle distance du sol va alors se trouver la ficelle ?
Même question avec une balle de tennis.
Si r est le rayon de la terre en mètre (ou de la balle de tennis), son périmètre est donc : 2π r. La ficelle va donc mesurer 2π r+1 et cela correspond à un rayon R vérifiant 2π r+1=2π R. Donc 2π (R−r)=1 c’est à dire R−r=1/(2π).
On tape :
`evalf(1/2/pi)`
On obtient :
`0.159154943092`
Donc quelque soit le rayon de la sphère la ficelle va être à environ 15.9 cm de la surface de la sphère.

## 8.2 Les lunules d’Hippocrate

Ce théorème, très ancien, a été démontré par Hippocrate de Chios (-500) (Ne pas le confondre avec Hippocrate de Cos, le médecin), qui étudia aussi la duplication du cube, c’est-à-dire le calcul de la racine cubique de 2.
Hippocrate recherchait alors la quadrature du cercle et pensait que la quadrature de ses lunules allait le rapprocher du but.
Une lunule est une portion de surface délimitée par deux arcs de cercles non concentriques de rayons différents. Ces arcs ont mêmes extrémités et forment un croissant de lune en forme de ménisque : convexe d’un côté et concave de l’autre.
Construction
Soit le triangle ABC rectangle en A et C le cercle circonscrit à ABC (de diamètre BC).
La lunule LAC est la figure formée par le demi-disque de diamètre AC extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par C.
La lunule LAB est la figure formée par le demi-disque de diamètre AB extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par C. Ces deux lunules sont appelées lunules d’Hippocrate. Alors la somme des aires de LBC et de LBA (en jaune) est égale à l’aire du triangle ABC (en rouge). On calcule S1 l’aire du triangle ABC :
S1=AB*AC/2 On calcule S2 la somme des aires de LBC et de LBA :
S2 est obtenue par différence : S2 est égale à la somme des aires des demi-cercles de diamètres AB et AC à laquelle on enlève l’aire en bleu.
L’aire en bleu est égale à l’aire du demi-cercle de diamètre BC à laquelle on enlève l’aire S1 du triangle ABC :
S2=AB2/2+AC2/2−(BC2/2−S1)
D’après le théorème de Pythagore on a : AB2+AC2=BC2 donc :
S2=S1.
Pour faire la figure on a tapé :

    A:=point(0);
    B:=point(2,affichage=quadrant1);
    C:=point(3*i,affichage=quadrant1);
    cercle(A,C,0,pi,affichage=3+rempli);
    cercle(A,B,-pi,0,affichage=3+rempli);
    cercle(B,C,0,pi,affichage=4+rempli);
    triangle(A,B,C,affichage=1+rempli);

`Xcas` sait remplir de couleur les polygones et les secteurs circulaires. On est donc obligé de procéder par superposition de couleur pour remplir les lunules d’Hippocrate et cela symbolise les opérations que l’on fait pour calculer l’aire des 2 lunules.
Exercice
Soient un carré de côtés l et les cercles ayant comme diamètre les côtés du carré.
À l’extérieur du carré, ces cercles déterminent avec le cercle circonscrit au carré 4 lunules.
Trouver l’aire des 4 lunules ainsi déterminées.
À l’intérieur du carré, ces cercles en se coupant déterminent 4 "pétales".
Trouver l’aire des 4 "pétales" ainsi déterminées.
La solution Un carré est formé de 2 triangles rectangles donc l’aire des 4 lunules est égale à l’aire du carré.
La somme de l”aire du carré et de l’aire des "pétales" est égale à l’aire des 4 demi-cercles de rayon l/2 donc l’aire des "pétales"=l2/2−l2

## 8.3 Aire d’un cercle troué

On perce un cercle de rayon R avec un cercle de même centre et de rayon r. Quelle est l’aire de ce cercle troué. Exprimer cette aire en fonction de d=√R2−r2.
On sait que l’aire d’un cercle de rayon R est : π R2 L’aire du cercle troué est donc :

π(R2−r2)=π d2

L’aire d’un cercle troué est égale à l’aire du cercle de rayon d où d est la longueur de la demi-corde qui est tangente au trou.

## 8.4 Volume de la sphère trouée

### 8.4.1 Volume de la calotte de hauteur h d’une sphère de rayon R

On note R le rayon de la spère, r le rayon de la base de la calotte et h la hauteur de la calotte et on suppose que 0<h<R. 0n a donc : r2=R2−(R−h)2
On tape :
`assume(R>0 and h>0 and h<R)`
On calcule une intégrale triple :
∫02*π(∫0r(∫0√R2−r2dz)*ρ dρ)dθ
On tape :

`factor(int(int(int(1,z,R-h,sqrt(R```^```2-ro```^```2))*ro,
ro,0,sqrt(R```^```2-(R-h)```^```2)),t,0,2*pi))`

On obtient :
`(h```^```2*pi*(3*R-h))/3`
Donc le volume de la calotte de hauteur h d’une spère de rayon R est :

VC=π h2

3*R−h
3

Vérification On sait que le volume d’une sphère de rayon R est : 4/3π R3 Le volume de 2 calottes sphériques de rayon R a pour hauteur R est :
2π R23*R−R/3=4/3π R3

### 8.4.2 Volume d’une sphère trouée

On perce une sphère de rayon R avec un cylindre ayant pour axe un diamètre de la sphère et comme base un cercle de rayon r. Quelle est le volume de cette sphère trouèe. Exprimer ce volume en fonction de d=√R2−r2.
Avec les notations précédentes on a enlevé à la sphère :
un cylindre ayant comme base un cercle de rayon r comme hauteur 2d et comme volume 2π r2d=2π (R2−d2)d et,
2 calottes sphériques ayant comme base un cercle de rayon r et ayant comme hauteur h=R−d.
On sait que le volume d’une sphère de rayon R est : 4/3π R3 Le volume de cette sphère trouèe est donc :

4
3

π R3−2π h2

3*R−h
3

−2π r2d

On tape :
`factor(2*pi/3*(2*R```^```3-(R-d)```^```2*(3*R-(R-d))-3*(R```^```2-d```^```2)*d))`
On obtient :
`(4*d```^```3*pi)/3`
Donc le volume d’une spère de rayon R trouée par un cylindre d’axe un diamètre et de hauteur 2d est :

VST=

4
3

π d3

c’est à dire le volume d’une spère de rayon R trouée par un cylindre d’axe un diamètre et de hauteur 2d est égal au volume d’une sphère de rayon d.