### 6.23.4 Augmenter la phase de π/2 dans les expressions trigonométriques : `shift_phase`

`shift_phase` a comme argument une expression trigonométrique.
`shift_phase` permet d’augmenter la phase de π/2 dans les expressions trigonométriques une fois que la simplification automatique a eu lieu. On tape :

`shift_phase(x+sin(x))`

On obtient :

`x-cos((pi+2*x)/2)`

On tape :

`shift_phase(x+cos(x))`

On obtient :

`x-+sin((pi+2*x)/2)`

On tape :

`shift_phase(x+tan(x))`

On obtient :

`x+1/(tan((pi+2*x)/2))`

Si on ne veut pas que l’expression soit évaluée (i.e. qu’il n’y ait pas de simplification automatique), il faut quoter l’argument. On tape :

`shift_phase(’sin(x+pi/2)’)`

On obtient :

`-(cos(pi+x))`

Mais si on tape sans quoter le sinus :

`shift_phase(sin(x+pi/2))`

On obtient :

`sin((pi+2*x)/2)`

car `sin(x+pi/2)` est évaluée (i.e. simplifiée) en `cos(x)` avant que la commande `shift_phase` ne soit appelée et ensuite `shift_phase(cos(x))` renvoie `sin((pi+2*x)/2)`. Exercice
Calcul de ∑n=1+∞sin(n*x)/n
On tape :
`normal(sum((sin(n*x))/n,n=1..+infinity))`
On obtient :
`-atan((sin(x))/(cos(x)-1))`
On tape :
`normal(shift_phase(halftan(atan(sin(x)/(-cos(x)+1)))))`
On obtient :
`pi*floor(((pi+x)/2)/pi+1/2)+(-1)/2*pi+(-1)/2*x`
si on tape :
`tsimplify(atan((sin(x))/(-cos(x)+1)))`
On obtient car `tsimplify` n’est pas rigoureux vis a vis des 2kπ :
`-1/2*pi-1/2*x`