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# Chapitre 26 Exercices de probabilités

## 26.1 Loi géométrique

### 26.1.1 Définition

### 26.1.2 Exercice

Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules rouges. On les tire une à une avec remise jusqu’à ce que l’on obtienne une boule blanche. Soit X la variable aléatoire "rang de la première boule blanche". Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.
X suit une loi géométrique de paramètre p=1/2.
On a :
Proba(X=n)=(1−p)n−1*p=1/2n
On a bien :
∑k=1+∞ 1/2k=1/2* ∑k=0+∞1/2k−1=1/2*2=1
La fonction de répartition de X est :
F(n)=Proba(X≤ n)=∑k=1n1/2k=1−1/2n+1
On sait que : E(X)=1/p=2
σ2(X)=1/p=2
On vérifie avec `Xcas` :
`sum(k/2```^```k,k=0..inf)` renvoie 2
E(X2)=1/p=2
On vérifie avec `Xcas` :
`sum(k```^```2/2```^```k,k=0..inf)` renvoie 6
donc σ2(X)=E(X2)−E(X)2=2

### 26.1.3 Exercice variante non géométrique

Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules rouges. On les tire une à une sans remise jusqu’à ce que l’urne soit vide.
Soit X la variable aléatoire "rang de la première boule blanche". Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.

La loi de Bernouilli que l’on repète n’est pas la même car on ne remet pas les boules dans l’urne : ce n’est donc pas une loi géométrique. Trouver la loi de X c’est trouver : Proba(X=n) puis sa fonction de repartition F.
X ne peut prendre que les valeurs 1,2,3,4,5,6.
On a (on fait les calculs avec Xcas) :
Proba(X=1)=5/10=1/2 (car on a 10 boules dont 5 blanches)
Proba(X=2)=1/2*5/9=5/18=comb(5,1)/comb(10,1)*5/9 (car au 2ième tirage il reste 9 boules dont 5 blanches)
Proba(X=3)=1/2*4/9*5/8=5/36=comb(5,2)/comb(10,2)*5/8 (car au 3ième tirage il reste 8 boules dont 5 blanches)
Proba(X=4)=1/2*4/9*3/8*5/7=5/84=comb(5,3)/comb(10,3)*5/7
Proba(X=5)=1/2*4/9*3/8*2/7*5/6=5/252=comb(5,4)/comb(10,4)*5/6
Proba(X=6)=1/2*4/9*3/8*2/7*1/6*5/5=1/252=comb(5,5)/comb(10,5)*5/5
On a la formule : Proba(X=n)=comb(5,n−1)/comb(10,n−1)*5/(11−n) Donc :
F(1)=1/2
F(2)=1/2+5/18=7/9
F(3)=7/9+5/36 =11/12
F(4)=11/12+5/84=41/42
F(5)=41/42+5/252=251/252
F(6)=251/252+1/252=1
On vérifie avec Xcas par exemple :
`sum(comb(5,n-1)/comb(10,n-1)*5/(11-n),n=1..2)` renvoie `7/9`
`sum(comb(5,n-1)/comb(10,n-1)*5/(11-n),n=1..2)` renvoie `41/42`
E(X)=1/2+5/9+5/12+4/21+25/252+6/252=25/14
E(X2)=1/2+10/9+15/12+16/21+125/252+36/252=179/42
σ2(X)=179/42-25*25/14/14=631/588

## 26.2 Loi uniforme

### 26.2.1 Définition

### 26.2.2 Exercice1

On considère un point aléatoire M uniformément réparti sur le disque de centre O et de rayon R c’est à dire que la probabilité pour que M appartienne à un domaine G du disque est proportionnelle à l’aire de G.

On a donc Proba(x∈ G)=(aire de G)/(R2).
Étude de la variable aléatoire X=OM
X varie de 0 à R et la fonction de répartition de X est donc :
F(x)=0 si x≤ 0
F(x)=π x2/π R2=x2/R2= si 0<x ≤ R
F(x)=1 si x > R
La densité de probabilité est donc :
f(x)=0 si x≤ 0 ou x> R
f(x)=2x/R2 si 0<x≤ R
L’éspérance de X est :
E(X)=∫0Rxf(x)dx=∫0R2x2/R2dx=2R/3 On calcule E(X2) : E(X2)=∫0Rx2f(x)dx=∫0R2x3/R2dx=R2/2 La variance de X est :
σ2(X)=E(X2)−E(X)2=R2/2−4R2/9=R2/18

### 26.2.3 Exercice2

Soit la variable aléatoire à 2 dimensions (X,Y) uniformément distribué sur le quart de disque D de centre O, de rayon R situé dans le quart de plan x>0 et y>0.
On demande la fonction de répartition de (X,Y).
La probabilité pour que M=(x,y) appartienne à un domaine G du quart de disque D est proportionnelle à l’aire de G.
Pour calculer la fonction de répartition, on va calculer : l’aire A du quart de disque : A=π R2/4 et
l’aire ASa du secteur : Sa={(x,y)∈ D : a<x<R} qui est aussi l’aire du secteur {(x,y)∈ D : a<y<R}.
Soit α l’angle OxM où M est le point du quart de cercle d’abscisse x. On a : α= acos (x/R) aire de Sa=ASa=α R2/2−x√(R2−ax2)/2 X et Y varient de 0 à R et la fonction de répartition de X,Y est donc :
F(x,y)=0 si x≤ 0 ou y≤ 0
F(x,y)=1 si x≥ R et y≥ R
F(x,y)=4xy/π R2/A si x2+y2≤ R2
F(x,y)=(π R2/4−ASx)/A si x2+y2> R2 et x≤ R et y≥ R
F(x,y)=(π R2/4−ASy)/A si x2+y2> R2 et x≥ R et y≤ R
F(x,y)=(4xy/π R2−ASx−ASy)/A si x2+y2> R2 et x<R et y<R

    F(x,y,R):={
      local a,b,AS,BS,A;
      si type(x)!=DOM_FLOAT ou  type(y)!=DOM_FLOAT alors
        retourne 'F'(x,y,R);
      fsi;
      si x<=0 ou y<=0 alors retourne 0; fsi;
      si x>=R et y>=R alors retourne 1; fsi;
      A:=pi*R^2/4;
      si (x^2+y^2<=R^2) alors retourne x*y/A; fsi;
      si x^2+y^2>R^2 et x<R et y>R alors
        a:=acos(x/R);
        AS:=a*R^2/2-x*sqrt(R^2-x^2)/2;
        retourne (pi*R^2/4-AS)/A;
      fsi;
      si x^2+y^2>R^2 et y<R et x>R alors
        a:=acos(y/R);
        AS:=a*R^2/2-y*sqrt(R^2-y^2)/2;
        retourne (pi*R^2/4-AS)/A;
      fsi;
      si x^2+y^2>R^2 et x<R et y<R alors
        a:=acos(x/R); b:=acos(y/R);
        AS:=a*R^2/2-x*sqrt(R^2-x^2)/2;
        BS:=b*R^2/2-y*sqrt(R^2-y^2)/2;
        retourne (pi*R^2/4-AS-BS)/A;
      fsi;
    }:;

On tape :
`plotfunc(F(x,y,1),[x=-1..2,y=-1..2]);`
`affichage(plotparam([x,sqrt(1-x```^```2),0],x=0..1), 4+epaisseur_ligne_2)`
On obtient :

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