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# Chapitre 8 Le baccalauréat 2005

## 8.1 Exercice 1

### 8.1.1 L’énoncé sur les suites

#### Partie A: question de cours

Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite.

#### Partie B

On considère une suite (un) définie sur ℕ dont aucun terme n’est nul. On définit alors la suite (vn) sur ℕ par vn=−2/un.
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration ou un contre-exemple pour la réponse indiquée.
1/ Si (un) est convergente alors (vn) est convergente.
2/ Si (un) est minorée par 2 alors (vn) est minorée par -1.
3/ Si (un) est décroissante alors (vn) est croissante.
4/ Si (un) est divergente alors (vn) est converge vers 0.

### 8.1.2 Les essais avec `Xcas`

On tape :
`v(n):=-2/u(n)`
1/ On tape :
`u(n):=(n+1)/n`
`limit(u(n),n=+infinity)` et on obtient `1`
`limit(v(n),n=+infinity)` et on obtient `-2`
`u(n):=n+1/n`
`limit(u(n),n=+infinity)` et on obtient `+infinity`
`limit(v(n),n=+infinity)` et on obtient `0`
`u(n):=1/n`
`limit(u(n),n=+infinity)` et on obtient `0`
`limit(v(n),n=+infinity)` et on obtient `-infinity`
2/ On tape :
`u(n):=2+1/n`
`normal(v(n)+1)` et on obtient `1/(2*n+1)`
La proposition semble vraie.
3/ On tape :
`u(n):=1/n`
`normal(u(n+1)-u(n))` et on obtient `1/(-n```^```2-n)`
`normal(v(n+1)-v(n))` et on obtient `-2`
4/ On tape :
`u(n):=(-1)```^```n`
`limit(u(n),n=+infinity)`
On obtient `"Error: Bad Argument Value"`
On tape :
`limit(v(n),n=+infinity)`
On obtient `"Error: Bad Argument Value"`

### 8.1.3 La correction sans `Xcas`

1/ est faux, on prend `u(n):=``1/n`
2/ est vrai car si :
`u(n) ≥ 2` alors `1/u(n)``≤` `1/2` car `u(n) ≥ 0`
donc `v(n)=``-2/u(n)``≥` `-2/2``=-1` 3/ est faux, on prend `u(n):=``1/n`
4/ est faux, on prend `u(n):=(-1)``n`

## 8.2 Exercice 2

### 8.2.1 L’énoncé

Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés et distincts, le cercle C de diamètre [OA], un point M variable appartenant au cercle C et distinct des points O et A, ainsi que les carrés de sens direct MAPN et MKLO.
On munit le plan complexe d’un repère orthonormal direct de sorte que les affixes des points O et A soient respectivement 0 et 1.
On note k,l,m,n,p les affixes respectives des points K,L,M,N,M,P.
1/ Démontrer que, quel que soit le point M choisi sur le cercle C, on a |m−1/2|=1/2.
2/ Établir les relations suivantes :
l=im et p=−im+1+i.
On admettra que l’on a également :
n=(1−i)m+i et k=(1+i)m
3/ a) Démontrer que le milieu Ω du segment [PL] est un point indépendant de la position du point M sur le cercle C.
b) Démontrer que le point Ω appartient au cercle C et préciser sa position sur ce cercle.
4/ a) Calculer la distance KN et démontrer que cette distance est constante.
b) Quelle est la nature du triangle Ω NK ?
5/ Démontrer que le point N appartient à un cercle fixe, indépendant du point M, dont on déterminera le centre et le rayon.

### 8.2.2 La figure avec `Xcas`

    O:=point(0);
    A:=point(1);
    C:=cercle(0,A);
    M:=element(C);
    carre(M,A,P,N);
    carre(0,M,K,L);
    R:=milieu(L,P);
    longueur(K,N);
    est_rectangle(R,N,K);
    est_isocele(R,N,K);
    NN:=N;
    lieu(NN,M,affichage=1);

Attention
On est obligé de renommer le point `N` en `NN` (`NN:=N;`) car il faut que le point dont on cherche le lieu soit défini par une affectation pour que la fonction `lieu` de `Xcas` fonctionne.

### 8.2.3 La correction sans `Xcas`

1/ Soit a l’affixe de A : on a donc a=1.
Soit B le milieu de [OA] : B a donc pour affixe b=1/2.
M est donc sur le cercle de centre B et de rayon 1/2 donc:
MB=1/2 donc |m−b|=1/2 ou encore |m−1/2|=1/2.
2/ Le point L se déduit de M dans la rotation de centre O et d’angle π/2 donc l=im.
Le point P se déduit de M dans la rotation de centre A et d’angle −π/2 donc p−a=−i(m−a), ou encore p−1=−i(m−1) donc
p=−im+i+1.
On a également :
Le point N se déduit de A dans la rotation de centre M et d’angle π/2 donc n−m=i(a−m) ou encore n=ia+m−im=(1−i)m+i.
Le point K se déduit de 0 dans la rotation de centre M et d’angle −π/2 donc k−m=−i(−m) ou encore k=(1+i)m.
3/ a) Soit ω l’affixe de Ω. On a :
ω=(p+l)/2=(−im+i+1+im)/2=(1+i)/2 Le point Ω est donc indépendant de la position de M sur le cercle C.
b) ω−b=ω−1/2=i/2 donc |ω−b|=1/2 ce qui prouve que Ω est sur le cercle C
4/ a) NK=|k−n|=|(1+i)m−(1−i)m−i|=|2im−i|=|2i(m−1/2)|=2*1/2=1 puisque |2i|=2 et que |m−1/2|=1/2.
b) On a :
Le vecteur Ω N a pour affixe :
n−ω=(1−i)m+i−i/2−1/2=(1−i)m+i/2−1/2=(1−i)(m−1/2)
Le vecteur Ω K a pour affixe :
k−ω=(1+i)m−i/2−1/2=(1+i)m−i/2−1/2=(1+i)(m−1/2)
Puisque (1−i)i=1+i on en déduit que le vecteur Ω K se déduit du vecteur Ω N par rotation d’angle π/2 et donc que le point K se déduit de N par rotation de centre Ω et d’angle π/2.
Le triangle Ω NK est donc isocèle rectangle.
5/ On a Ω N=|n−ω|=|(1−i)(m−1/2)|=√2/2 puisque |1−i|=√2 et que |m−1/2|=1/2.
Donc N est sur le cercle de centre Ω et de rayon √2/2.

## 8.3 Exercice 3

### 8.3.1 L’énoncé

Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 billes rouges et 3 billes vertes dans une boite cubique et 3 billes rouges et 4 billes vertes dans une boite cylindrique.
1/ Dans un premier jeu, il choisit simultanément 3 billes au hasard dans la boite cubique et regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombres de billes rouges choisies.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer l’espérance mathématique de X
2/ Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l’enfant choisisse d’abord au hasard une des 2 boites, puis qu’il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boite choisie.
On considère les événements suivants :
C1 : l’enfant choisi la boite cubique,
C2 : l’enfant choisi la boite cylindrique,
R : l’enfant prend une bille rouge,
V : l’enfant prend une bille verte.
a) Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu.
b) Calculer la probabilité de l’événement R.
c) Sachant que l’enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probanilité qu’elle provienne de la boite cubique ?
3/ L’enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place.
a) Exprimer, en fonction de n, la probabilité pn que l’enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses n choix.
b) Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle pn ≥ 0.99.

### 8.3.2 La simulation avec `Xcas`

1/ On suppose que les billes rouges sont numérotées de 0 à 9 et que les vertes sont numérotées de 10 à 12.
On simule un choix de la question 1/ avec `choix1()`, la loi de X en faisant "beaucoup de tirages" avec `loiX(n)` où n représente un grand nombre de tirages et l’espérance de X avec `EX(n)` où n représente aussi un grand nombre de tirages. On peut écrire pour simuler le choix sans remise de 3 billes parmi 13 (on numérote les billes de 0 à 12 et on recommence si on trouve une bille déjà tirée) :

    choix11():={
    local b1,b2,b3;
    b1:=rand(13);
    b2:=rand(13);
    while (b1==b2) {b2:=rand(13);}
    b3:=rand(13);
    while (b1==b3 || b2==b3)  {b3:=rand(13);}
    return sort([b1,b2,b3]);
    };

ou encore si on supprime les numéros tirés au fur et à mesure :

    choix12():={
    local b,j,B,R,n;
    B:=makelist(id,0,12);
    R:=[];
    n:=13;
    for (j:=0;j<3;j++) {
    b:=rand(n);
    R:=append(R,B[b])
    B:=suppress(B,b);
    n:=n-1;
    }
    return sort(R);
    }

ou encore si on ne veut pas mettre un numéro aux billes :

    choix13():={
    local b,j,B,R,n;
    //B:=concat(makelist(x->"R",0,9),makelist(x->"V",0,2));
    B:=makelist(x->ifte(x<10,"R","V"),0,12);
    R:=[];
    n:=13;
    for (j:=0;j<3;j++) {
    b:=rand(n);
    R:=append(R,B[b])
    B:=suppress(B,b);
    n:=n-1;
    }
    return R;
    }

On tape :
`choix11()` ou `choix12()`
On obtient par exemple :
`[5,8,11]`
On tape :
`choix13()`
On obtient par exemple :
`[R,R,V]`
ce qui correspond à 2 billes rouges (numéros 5 et 8) et 1 bille verte (numéro 11).
Puis on définit la loi de `X` en utilisant `choix11()` ou `choix12()`:

    loiX(n):={
    local ch,lX,j;
    lX:=makelist(0,0,3);
    for (j:=0;j<n;j++) {
    ch:=count_inf(10,choix11());
    lX[ch]:=lX[ch]+1;};
    return lX/n;
    };

    EX(n):=sum(loiX(n)[k]*k,k,0,3);

On tape :
`loiX(1000)`
On obtient par exemple :
`[1/500,107/1000,23/50,431/1000]=[0.002,0.107,0.460,0.431]`
On tape :
`EX(1000)`
On obtient par exemple :
`288/125=2.304`
Ou définit la loi de `X` en utilisant `choix13()`:

    loi13X(n):={
    local ch,lX,j;
    lX:=makelist(0,0,3);
    for (j:=0;j<n;j++) {
    ch:=count_eq("R",choix13());
    lX[ch]:=lX[ch]+1;};
    return lX/n;
    };

    E13X(n):=sum(loi13X(n)[k]*k,k,0,3);

On tape :
`loi13X(1000)`
On obtient par exemple :
`[7/1000,99/1000,489/1000,81/200]=[0.007,0.099,0.489,0.405]`
On tape :
`E13X(1000)`
On obtient par exemple :
`2369/1000=2.369`
2/ On suppose que la boite cubique a comme numéro 1 et que la boite cylindrique a comme numéro 2.
On suppose que dans la boite cubique, les billes rouges sont numérotées de 0 à 9 et que les vertes sont numérotées de 10 à 12 et que dans la boite cylindrique, les billes rouges sont numérotées de 0 à 2 et que les vertes sont numérotées de 3 à 6.
On simule un choix de la question 2/ avec `choix2()`.
On simule les résultats obtenus lorsque l’on effectue n fois le deuxième jeu avec `choix3(n)`.
On simule la probabilité d’obtenir une bille rouge avec le deuxième jeu avec `probR(n)` en prenant une grande valeur de n.
Attention
Lorsque l”on veut exploiter les résultats obtenus par `choix2()` ou par `choix3(n)` il faut préserver le résultat obtenu dans une variable car les valeurs obtenues par ces fonctions ne sont pas toujours les mêmes!!!
Par exemple :
`L:=choix3(1000)`; ou `choix:=choix2()`
car `L[0]+L[2]!=choix3(1000)[0]+choix3(1000)[1]` ou
`choix[0]+choix[1]!=choix2()[0]+choix3()[1]`

    choix2():={
    local c,b,nr1,nr2,nv1,nv2;
    c:=rand(2)+1;
    nr1:=0;
    nr2:=0;
    nv1:=0;
    nv2:=0;
    if (c==1){
     b:=rand(13);
     if (b<10) {
      nr1:=nr1+1;
      } else {
      nv1:=nv1+1;
      }
    } else {
    b:=rand(7);
     if (b<3) {
      nr2:=nr2+1;
      } else {
      nv2:=nv2+1;
      }
    }
    return [nr1,nv1,nr2,nv2];
    };

    choix3(n):={
    local rep,k;
    rep:=[0,0,0,0];
    for (k:=0;k<n;k++) {
    rep:=choix2()+rep;
    };
    return rep;
    };

    probR(n):={
    local L;
    L:=choix3(n);
    return (L[0]+L[2])/n;
    };

    probC1siR(n):={
    local nrc1,nr,choix,k;
    nrc1:=0;
    nr:=0
    for (k:=0;k<n;k++) {
    choix:=choix2();
    if (choix[0]+choix[2]==1) {nr:=nr+1;
    if (choix[0]==1) nrc1:=nrc1+1;
    }
    }
    return [nr,nrc1/nr];
    };

On tape :
`choix2()`
On obtient par exemple :
`[0,1,0,0]`
ce qui veut dire que l’enfant a choisi d’abord la boite cubique, puis une bille verte dans cette boite.
On tape :
`choix3(1000)`
On obtient par exemple :
`[368,109,218,305]`
ce qui veut dire que l’enfant a choisi d’abord 368+109=477 fois la boite cubique, en prenant ensuite 368 fois une bille rouge et 109 fois une bille verte dans cette boite et 218+305=523 fois la boite cylindrique, en prenant ensuite 218 fois une bille rouge et 305 fois une bille verte dans cette boite.
On tape :
`probR(1000)`
On obtient par exemple :
`609/1000=0.609`
ce qui veut dire que sur 1000 tirages, l’enfant a obtenu 609 fois une bille rouge.
On tape :
`probC1siR(1000)`
On obtient par exemple :
`[593,366/593]` `≃``[593.0,0.6172`
ce qui veut dire que sur 1000 tirages, la bille rouge a été obtebue 593 fois et en provenant 366 fois de la boite cubique.
On tape :
`probC1siR(1000)`
On obtient par exemple :
`[624,131/208]` `≃``[[624.0,0.6298]`
ce qui veut dire que sur 1000 tirages, la bille rouge a été obtebue 624 fois et en provenant 393 fois de la boite cubique.
3/ Pour simuler pn, on effectue m fois n tirages avec m grand.

    pn(n,m):={
    local L,rep,k;
    rep:=0;
    for (k:=0;k<m;k++) {
    L:=choix3(n);
    if ((L[0]+L[2])>0) {
    rep:=rep+1;}
    }
    return rep/m;
    }

On tape si l’enfant fait 5 tirages de suite au deuxième jeu :
`pn(5,1000)`
On obtient par exemple :
`987/1000`
On tape si l’enfant fait 6 tirages de suite au deuxième jeu :
`pn(6,1000)`
On obtient par exemple :
`997/1000`

### 8.3.3 La correction avec l’aide de `Xcas`

1/ a) Si parmi les 3 billes choisies, on a obtenu k billes rouges et 3−k billes vertes, on a :
`P(X=k)=p(k)=comb(10,k)*comb(3,3-k)/comb(13,3)`
On tape :
`p(k):=comb(10,k)*comb(3,3-k)/comb(13,3)`
`p(0)` et on obtient `1/286` `≃``0.0035`
`p(1)` et on obtient `15/143``≃``0.1049`
`p(2)` et on obtient `135/286``≃``0.4720`
`p(3)` et on obtient `60/143``≃``0.4196`
On a bien :
`p(0)+p(1)+p(2)+3*p(3)=(1+30+135+120)/286=1`
b) `E(X)=p(1)+2*p(2)+3*p(3)`
On tape :
`p(1)+2*p(2)+3*p(3)` et on obtient `30/13=2.307...`
2/ a) On fait un arbre pondéré :

PC1(R)=

10
13

—→ P(C1 ⋂ R)=

5
13

|  |  | \ |  |

P(C1)=

1
2

| \ |  | / |  |

\

PC1(V)=

3
13

—→ P(C1 ⋂ V)=

3
26

/

PC2(R)=

3
7

—→ P(C2 ⋂ R)=

3
14

| / |  | \ |  |

P(C2)=

1
2

|  |  | / |  |

PC2(V)=

4
7

—→ P(C2 ⋂ V)=

2
7

b) On a :
P(R)=P(C1 ∩ R)+P(C2 ∩ R)=5/13 +3/14=109/182 ≃ 0.5989
c) On veut calculer PR(C1).
On a : PR(C1)= P(C1 ∩ R)/P(R)=5/13/109/182=70/109≃ 0.6422
3/ Si qn est la probabilité de n’avoir pris aucune bille rouge au cours de ses n choix, on a pn=1−qn.
On a :
qn=P(V)n=(1−P(R))n=(73/182)n
donc ;
pn=1−(73/182)n
b) On cherche les valeurs de n pour avoir pn ≥ 0.99 ou encore pour avoir :

1−pn=qn =(

73
182

)n ≤ 0.01

On a :
(73/182)n ≤ 0.01 est équvalent à :
n ≥ ln(0.01)/(ln(73)−ln(182)) ≃ 5.04097648645
Donc la plus petite valeur de n pour laquelle pn ≥ 0.99 est n=6.

## 8.4 Exercice 4

### 8.4.1 L’énoncé

#### Partie A

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=3ex/4/2+ex/4.

a) Démontrer que f(x)=3/1+2e−x/4

b) Étudier les limites de la fonction f en +∞ et en −∞.

c) Étudier les vatiations de la fonction f.

#### Partie B

1/ On a étudié en laboratoire l’évolution d’une population de petits rongeurs. La taille de la population au temps t, est notée g(t). On définit ainsi une fonction g de l’intervalle [0;+∞[ dans ℝ. La variable réelle t désigne le temps exprimé en années. L’unité choisie pour g(t) est la centaine d’individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g une solution sur l’intervalle [0;+∞[, de l’équation différentielle (E1) : y′=y/4.

a) Résoudre l’équation différentielle (E1).

b) Déterminer l’expression g(t) lorsque, à la date t=0, la population comprend 100 rongeurs, c’est à dire g(0)=1.

c) Après combien d’années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ?
2/ En réalité, dans un secteur observé d’une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u ainsi définie, satisfait aux conditions :

(E2):

⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩

u′(t)

=

u(t)
4

−

u(t)2
12

pour tout réel t≥ 0,

u(0) | = | 1

où u′ désigne la fonction dérivée de u.

a) On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t) > 0. On considère, sur l’intervalle [0;+∞[, la fonction h définie par h=1/u. Démontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions :

(E3):

⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩

h′(t)

=

−h(t)
4

+

1
12

pour tout réel t≥ 0,

h(0) | = | 1

où h′ désigne la fonction dérivée de h.

b) Donner les solutions de l’équation différentielle y′=−y/4+1/12 et en déduire l’expression de la fonction h, puis celle de la fonction u.

c) Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers +∞ ?

### 8.4.2 La correction avec l’aide de `Xcas`

#### Partie A

1/ a) La fonction f est définie sur ℝ car 2+ex/4 ≠ 0 pour tout x dans ℝ.
On a pour tout x dans ℝ, ex/4=1/e−x/4 donc :
f(x)=3*ex/4/2+ex/4=3/e−x/4*(2+ex/4)=3/2e−x/4+1.
Ou encore on tape :
`simplify(3*e```^```(x/4)/(2+e```^```(x/4))-3/(1+2*e```^```(-x/4)))`
On obtient :
`0`

b) On tape :
`limit(3/(1+2*e```^```(-x/4)),x=+infinity)`
On obtient :
`3`
En effet quand x tend vers +∞, exp(−x/4) tend vers 0, donc f(x)=3/2e−x/4+1 tend vers 3.
On tape :
`limit(3/(1+2*e```^```(-x/4)),x=-infinity)`
On obtient :
`0`
En effet quand x tend vers −∞, exp(−x/4) tend vers +∞, donc f(x)=3/2e−x/4+1 tend vers 0.

c) On tape :
`f(x):=3/(1+2*e```^```(-x/4))`
`simplify(diff(f(x)))`
On obtient :
`(3*exp(-(x/4)))/(8*(exp(-(x/4)))```^```2+8*exp(-(x/4))+2)`
On tape :
`factor(ans())`
On obtient :
`(3*exp(-(x/4)))/(2*(2*exp(-(x/4))+1)```^```2)`
La dérivée étant toujours positive la fonction f est donc croissante de 0 à 3.

#### Partie B

1/ a) La solution générale de l’équation différentielle (E1) y′=y/4 est :
y(t)=C*exp(t/4) où C est une constante arbritaire.
On tape :
`desolve(y’=y/4,y)`
On obtient :
`c_0/exp(-x/4)`
On tape :
`desolve(diff(y(t),t)=y(t)/4,t,y)`
On obtient :
`c_0/exp(-t/4)`

b) g est la solution de (E1) qui vérifie g(0)=1 donc on a g(t)=C*exp(t/4) et g(0)=1 donc C=g(0)=1. La taille de la population au temps t est donc :
g(t)=exp(t/4).
On tape :
`desolve([y’=y/4,y(0)=1],y)`
On obtient :
`1/exp(-x/4)`
On tape :
`desolve([diff(y(t),t)=y(t)/4,y(0)=1],t,y)`
On obtient :
`1/exp(-t/4)`

c) On veut savoir quand g(t)≥ 300.
On résout :
exp(t/4)≥ 300 qui est équivalent à t ≥ 4*ln(300)≃ 22.8
La population dépassera 300 rongeurs au bout de 23 années.
On tape :
`solve(exp(t/4)>=300,t)`
On obtient :
`[t>=(4*log(300))]`
On tape :
`solve(exp(t/4)>=300.0,t)`
On obtient :
`[t>=22.8151298986]`
2/ a) On a, pour tout réel t positif :
h(t)=1/u(t) donc h′(t)=−u′(t)/u(t)2 (puisque u(t)≠ 0)
u satisfait à E2 si et seulement si
u′(t)/u(t)2=1/(4*u(t))−1/12 et u(0)=1 (puisque u(t)≠ 0)
ce qui est équivalent à
h′(t)=−u′(t)/u(t)2=−1/4*h(t)+1/12 et h(0)=1 (puisque u(t)≠ 0)

b) Les solutions de l’équation différentielle y′=−y/4+1/12 sont obtenus en ajoutant aux solutions de l’équation différentielle y′=−y/4 une solution particulière de l’équation différentielle y′=−y/4+1/12.
Les solutions de l’équation différentielle y′=−y/4 sont y(t)=Kexp(−t/4) où K est une constante arbitraire.
Une solution particulière de l’équation différentielle y′=−y/4+1/12 est y(t)=1/3 Les solutions de l’équation différentielle y′=−y/4+1/12 sont donc :
y(t)=Kexp(−t/4)+1/3.
On en déduit, puisque h vérifie (E3), que :
h(t)= Kexp(−t/4)+1/3 et h(0)=1 donc on a K=2/3 et
h(t)= 2/3*exp(−t/4)+1/3=(1+2exp(−t/4))/3 et donc
u(t)=3/(2+exp(−t/4))=f(t)
On a donc, pour tout réel t positif :
u(t)=f(t)
Avec `Xcas`, on tape :
`desolve(y’=-y/4+1/12,y)`
On obtient :
`(exp(x/4)/(12/4)+c_0)/(exp(x/4))`
On tape :
`desolve([diff(y(t),t)=-y(t)/4+1/12,y(0)=1],t,y)`
On obtient :
`((exp(t/4)*4)/12+2/3)/(exp(t/4))`
On tape :
`normal(inv(((exp(t/4)*4)/12+2/3)/(exp(t/4))))`
On obtient :
`(3*exp(t/4))/(exp(t/4)+2)`

c) Lorsque t tend vers +∞, la taille de la population augmente et tend vers 300 rongeurs puisque f tend vers 3 lorsque t tend vers +∞.

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